(3 pontos) Transforme a equação 3. em uma equação exata e a resolva.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para torná-la exata e resolvê-la. O conteúdo necessário é reconhecer uma equação na forma
testar exatidão, e caso não seja exata, encontrar um fator integrante.
Passo 2
Identificamos
Calculamos
como
, a equação não é exata.
Passo 3
Para achar um fator integrante
que dependa só de
, usamos a fórmula
Logo
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
onde
Verificamos agora
de modo que a equação é exata.
Passo 5
Procura-mos uma função potencial
tal que
e
.
Integrando
em
:
Derivando em
:
que deve ser igual a
. Logo
e
é constante.
Passo 6
A solução geral implícita é
Podemos multiplicar por
para simplificar:
onde
é constante qualquer.