(3 pontos) Transforme a equação 3. em uma equação exata e a resolva.
\left(x^{4}+y^{4}\right) d x-x y^{3} d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(x^{4}+y^{4})\,dx - x\,y^{3}\,dy = 0
e pede para torná-la exata e resolvê-la. O conteúdo necessário é reconhecer uma equação na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,
testar exatidão, e caso não seja exata, encontrar um fator integrante.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = x^{4} + y^{4}, \quad N(x,y) = -\,x\,y^{3}.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = 4\,y^{3}, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = -\,y^{3},
como \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Para achar um fator integrante \mu que dependa só de x, usamos a fórmula
\frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} = \frac{4y^{3} - (-y^{3})}{-x y^{3}} = -\frac{5}{x}.
Logo
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int -\frac{5}{x}\,dx\Bigr) = x^{-5}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por x^{-5}, obtendo
M^{*}\,dx + N^{*}\,dy = 0,
onde
M^{*}(x,y) = x^{-5}(x^{4}+y^{4}) = x^{-1} + x^{-5}y^{4}, \quad N^{*}(x,y) = -\,x^{-5}\,x\,y^{3} = -\,x^{-4}y^{3}.
Verificamos agora
\frac{\partial M^{*}}{\partial y} = 4\,x^{-5}y^{3}, \quad \frac{\partial N^{*}}{\partial x} = 4\,x^{-5}y^{3},
de modo que a equação é exata.

Passo 5

Procura-mos uma função potencial \psi(x,y) tal que \partial\psi/\partial x = M^{*} e \partial\psi/\partial y = N^{*}.
Integrando M^{*} em x:
\psi(x,y) = \int\bigl(x^{-1} + x^{-5}y^{4}\bigr)\,dx = \ln|x| \;+\; y^{4}\!\int x^{-5}\,dx = \ln|x| \;-\;\frac{y^{4}}{4\,x^{4}} + h(y).
Derivando em y:
\frac{\partial\psi}{\partial y} = -\frac{4\,y^{3}}{4\,x^{4}} + h'(y) = -\frac{y^{3}}{x^{4}} + h'(y),
que deve ser igual a N^{*} = -x^{-4}y^{3}. Logo h'(y)=0 e h(y) é constante.

Passo 6

A solução geral implícita é
\psi(x,y) = \ln|x| \;-\;\frac{y^{4}}{4\,x^{4}} = C.
Podemos multiplicar por 4x^{4} para simplificar:
4\,x^{4}\ln|x| - y^{4} = C',
onde C' é constante qualquer.

Resposta

\ln|x| - \frac{y^{4}}{4\,x^{4}} = C \quad\Longleftrightarrow\quad 4\,x^{4}\ln|x| - y^{4} = C'.

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