Uma função f: X \rightarrow \mathbf{R} é contínua no ponto a \in X quando, para todo \epsilon>0 dado, existe \delta>0 tal que x \in X e |x-a|<\delta impliquem |f(x)-f(a)|<\epsilon. Prove que:
(a) Se a é um ponto isolado de X. então toda função f: X \rightarrow \mathbf{R} é contínua no ponto a.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá a definição de continuidade num ponto: uma função f: X \to \mathbf{R} é contínua em a\in X quando, para todo \epsilon>0 dado, existe \delta>0 tal que, se x\in X e |x-a|<\delta, então |f(x)-f(a)|<\epsilon.
  • Dá a hipótese extra: a é um ponto isolado de X.
  • Pede para provar que, sob essa hipótese, toda função f: X\to\mathbf{R} é contínua em a.

Passo 2

Explicar claramente o que significa “ponto isolado” (não assuma que já sabe):
Dizemos que a é um ponto isolado de X se existe \delta_0>0 tal que
(a-\delta_0,a+\delta_0)\cap X=\{a\}.
Em palavras: há uma vizinhança aberta em torno de a que não contém nenhum outro ponto de X além do próprio a. Ou seja, não há pontos de X arbitrariamente próximos de a.

Passo 3

Relembrar a estratégia de prova com a definição \— o que precisamos mostrar:
Segundo a definição, para provar que f é contínua em a devemos tomar um \epsilon>0 arbitrário e mostrar como escolher um \delta>0 (dependendo possivelmente de \epsilon) tal que, para todo x\in X com |x-a|<\delta, valha |f(x)-f(a)|<\epsilon.

Passo 4

Começar a prova propriamente (estratégia direta, eps–delta):
Seja f: X\to\mathbf{R} uma função qualquer e seja \epsilon>0 dado (arbitrário). Como a é ponto isolado, existe \delta_0>0 tal que
(a-\delta_0,a+\delta_0)\cap X=\{a\}.

Passo 5

Escolha do \delta e verificação da condição:
Escolha \delta=\delta_0. Agora considere qualquer x\in X com |x-a|<\delta. Pela propriedade da interseção acima, isso implica que x=a (pois não há outro ponto de X dentro dessa bola). Portanto
|f(x)-f(a)|=|f(a)-f(a)|=0.
Como 0<\epsilon para todo \epsilon>0, temos |f(x)-f(a)|=0<\epsilon. Assim a condição da definição de continuidade é satisfeita com essa escolha de \delta.

Passo 6

Conclusão e interpretação intuitiva:
Como a escolha de \epsilon>0 foi arbitrária e encontramos um \delta>0 (igual a \delta_0) que funciona, concluímos que f é contínua em a. Intuição: se não existem pontos de X próximos de a além do próprio a, não há como fazer f(x) “se desviar” de f(a) quando x está suficientemente próximo — a condição é satisfeita de forma trivial porque o único x em uma vizinhança pequena é a mesmo.

Resposta

Toda função f: X \rightarrow \mathbf{R} é contínua em a.

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