Uma função
é contínua no ponto
quando, para todo
dado, existe
tal que
e
impliquem
. Prove que:
(a) Se
é um ponto isolado de
. então toda função
é contínua no ponto
.
(a) Se
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá a definição de continuidade num ponto: uma função
é contínua em quando, para todo dado, existe tal que, se e , então . - Dá a hipótese extra:
é um ponto isolado de . - Pede para provar que, sob essa hipótese, toda função
é contínua em .
Passo 2
Explicar claramente o que significa “ponto isolado” (não assuma que já sabe):
Dizemos que é um ponto isolado de
se existe
tal que
Dizemos que
Em palavras: há uma vizinhança aberta em torno de
que não contém nenhum outro ponto de
além do próprio
. Ou seja, não há pontos de
arbitrariamente próximos de
.
Passo 3
Relembrar a estratégia de prova com a definição \— o que precisamos mostrar:
Segundo a definição, para provar que é contínua em
devemos tomar um
arbitrário e mostrar como escolher um
(dependendo possivelmente de
) tal que, para todo
com
, valha
.
Segundo a definição, para provar que
Passo 4
Começar a prova propriamente (estratégia direta, eps–delta):
Seja uma função qualquer e seja
dado (arbitrário). Como
é ponto isolado, existe
tal que
Seja
Passo 5
Escolha do
e verificação da condição:
Escolha . Agora considere qualquer
com
. Pela propriedade da interseção acima, isso implica que
(pois não há outro ponto de
dentro dessa bola). Portanto
Escolha
Como
para todo
, temos
. Assim a condição da definição de continuidade é satisfeita com essa escolha de
.
Passo 6
Conclusão e interpretação intuitiva:
Como a escolha de foi arbitrária e encontramos um
(igual a
) que funciona, concluímos que
é contínua em
. Intuição: se não existem pontos de
próximos de
além do próprio
, não há como fazer
“se desviar” de
quando
está suficientemente próximo — a condição é satisfeita de forma trivial porque o único
em uma vizinhança pequena é
mesmo.
Como a escolha de
Resposta
Toda função
é contínua em
.