Determine os pontos onde as curvas y=e^-x^2 e y=e^x^2 têm retas tangentes perpendiculares.

Passo 1

O enunciado dá duas curvas
y1 = e^-x^2 e y2 = e^x^2
e pede os valores de x para os quais as retas tangentes a essas duas curvas, ambas no mesmo x, são perpendiculares.
Conteúdo: derivação de funções exponenciais compostas e condição de perpendicularidade de retas (produto dos coeficientes angulares igual a -1).

Passo 2

Calculemos as derivadas (coeficientes angulares das tangentes)
para cada curva no ponto de abscissa x.
Para y1 = e^-x^2 vale a regra da cadeia:
y1' = ddx e^-x^2 = e^-x^2cdot(-2x) = -2x,e^-x^2
Para y2 = e^x^2 temos
y2' = ddx e^x^2 = e^x^2cdot(2x) = 2x,e^x^2

Passo 3

Duas retas são perpendiculares se, e somente se, o produto dos coeficientes angulares for -1.
Logo impomos
y1'(x),y2'(x) = -1
Substituindo,
(-2x,e^-x^2);(2x,e^x^2) = -4x^2,e^-x^2 + x^2 = -4x^2 stackrel!= -1
Portanto
-4x^2 = -1 Longrightarrow 4x^2 = 1 Longrightarrow x^2 = tfrac14

Passo 4

Da igualdade x^2 = tfrac14 obtemos
x = pm tfrac12

Passo 5

Para cada uma dessas abscissas, as ordenadas nas duas curvas são
y1l(pm tfrac12r) = e^-tfrac14, y2l(pm tfrac12r) = e^tfrac14
Logo os pontos onde as tangentes são perpendiculares são
l(pm tfrac12,;e^-tfrac14r) na curva y=e^-x^2
e
l(pm tfrac12,;e^tfrac14r) na curva y=e^x^2.

Resposta

As tangentes são perpendiculares em
x = pm tfrac12,
isto é, nos pontos
l(tfrac12,e^-tfrac14r),; l(tfrac12,e^tfrac14r) e l(-tfrac12,e^-tfrac14r),; l(-tfrac12,e^tfrac14r)

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