Determine os pontos onde as curvas
e
têm retas tangentes perpendiculares.
Passo 1
O enunciado dá duas curvas
e pede os valores de
para os quais as retas tangentes a essas duas curvas, ambas no mesmo
, são perpendiculares.
Conteúdo: derivação de funções exponenciais compostas e condição de perpendicularidade de retas (produto dos coeficientes angulares igual a ).
Conteúdo: derivação de funções exponenciais compostas e condição de perpendicularidade de retas (produto dos coeficientes angulares igual a
Passo 2
Calculemos as derivadas (coeficientes angulares das tangentes)
para cada curva no ponto de abscissa .
Para vale a regra da cadeia:
para cada curva no ponto de abscissa
Para
Para
temos
Passo 3
Duas retas são perpendiculares se, e somente se, o produto dos coeficientes angulares for
.
Logo impomos
Logo impomos
Substituindo,
Portanto
Passo 4
Da igualdade
obtemos
Passo 5
Para cada uma dessas abscissas, as ordenadas nas duas curvas são
Logo os pontos onde as tangentes são perpendiculares são
na curva
e
na curva
.
e
Resposta
As tangentes são perpendiculares em
,
isto é, nos pontos
isto é, nos pontos