A função
é contínua em
? Justifique.
Passo 1
A questão dá a função
Estamos em matéria de continuidade de funções de duas variáveis. Para verificar se é contínua em (0,0), precisamos usar a definição:
é contínua em (0,0) se
Passo 2
Para estudar esse limite, usamos caminhos distintos. Considere a reta genérica
com
fixo e
corresponde a
. Substituindo na expressão de
:
Passo 3
Passo 4
Note que o valor
depende de
. Por exemplo, se escolhermos:
-
, então . -
, então .
Logo, ao aproximar (0,0) por caminhos diferentes, o valor detende a 1 ou a 0 ou a qualquer dependendo de .
Passo 5
Como o limite não é único (depende do caminho), ele não existe. Portanto
e isso impede a continuidade, já que não coincide com
.
Resposta
A função não é contínua em (0,0) porque o limite de f(x,y) quando (x,y)→(0,0) depende do caminho e não existe de forma única.