A função f(x, y)=ccx^2-y^2x^2+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0) é contínua em (0,0) ? Justifique.

Passo 1

A questão dá a função
f(x,y)=x^2-y^2x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)
Estamos em matéria de continuidade de funções de duas variáveis. Para verificar se é contínua em (0,0), precisamos usar a definição: f é contínua em (0,0) se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0

Passo 2

Para estudar esse limite, usamos caminhos distintos. Considere a reta genérica y=mx com m fixo e (x, y)to(0,0) corresponde a xto0. Substituindo na expressão de f:

Passo 3

f(x,mx)=x^2-(mx)^2x^2+(mx)^2=1-m^21+m^2

Passo 4

Note que o valor 1-m^21+m^2 depende de m. Por exemplo, se escolhermos:
  • m=0, então f(x,0)=1.
  • m=1, então f(x,x)=0.
    Logo, ao aproximar (0,0) por caminhos diferentes, o valor de f(x,y) tende a 1 ou a 0 ou a qualquer (1-m^2)/(1+m^2) dependendo de m.

Passo 5

Como o limite não é único (depende do caminho), ele não existe. Portanto
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existe, ã
e isso impede a continuidade, já que não coincide com f(0,0)=0.

Resposta

A função não é contínua em (0,0) porque o limite de f(x,y) quando (x,y)→(0,0) depende do caminho e não existe de forma única.

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