Use uma integral de linha para encontrar a área da região envolvida pelo astroide
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar uma integral de linha para encontrar a área da região envolvida por um astroid. Um astroid é uma curva interessante definida por:
Então, vamos precisar de conhecimentos sobre integrais de linha e área de curvas paramétricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como calcular a área de uma região delimitada por uma curva paramétrica. Uma maneira prática é usar a fórmula da integral de linha baseada na Teorema de Green. A fórmula para a área
é:
Aqui,
é a curva fechada que delimita a região.
Passo 3
Como a curva está parametrizada por
, podemos expressar
e
em termos de
. Vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos
,
,
e
na fórmula da área:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Fatorando :
Como :
Passo 6
Para resolver a integral , usamos identidades trigonométricas. Sabemos que:
Multiplicando:
Passo 7
Substituindo de volta na integral:
Usamos novamente a identidade:
Então:
Passo 8
Calculando as integrais:
Então:
Resposta
A área da região envolvida pelo astroid é: