Use uma integral de linha para encontrar a área da região envolvida pelo astroide
x=a cos ^3 phi, y=a sen^3 phi (0 <= phi <= 2 pi)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar uma integral de linha para encontrar a área da região envolvida por um astroid. Um astroid é uma curva interessante definida por:
Então, vamos precisar de conhecimentos sobre integrais de linha e área de curvas paramétricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular a área de uma região delimitada por uma curva paramétrica. Uma maneira prática é usar a fórmula da integral de linha baseada na Teorema de Green. A fórmula para a área A = 12 ointC (x , dy - y , dx) é:
Aqui, é a curva fechada que delimita a região.

Passo 3

Como a curva está parametrizada por x = a cos^3 phi Rightarrow dxdphi = -3a cos^2 phi sen phi , podemos expressar y = a sen^3 phi Rightarrow dydphi = 3a sen^2 phi cos phi e em termos de . Vamos calcular as derivadas de e em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos A = 12 integral0^2pi ( x dydphi - y dxdphi ) dphi , A = 12 integral0^2pi ( a cos^3 phi cdot 3a sen^2 phi cos phi - a sen^3 phi cdot (-3a cos^2 phi sen phi) ) dphi , e na fórmula da área:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Fatorando :
Como :

Passo 6

Para resolver a integral , usamos identidades trigonométricas. Sabemos que:
Multiplicando:

Passo 7

Substituindo de volta na integral:
Usamos novamente a identidade:
Então:
A = 3a^22 integral0^2pi sen^2 2phi4 , dphi = 3a^28 integral0^2pi sen^2 2phi , dphi

Passo 8

Calculando as integrais:
integral0^2pi 1 , dphi = 2pi
integral0^2pi cos 4phi , dphi = 0 (porque a integral de uma função cosseno comp<=ta em um múçãúíé
Então:
A = 3a^216 (2pi - 0) = 3a^216 cdot 2pi = 3a^2pi8

Resposta

A área da região envolvida pelo astroid é:
A = 38 pi a^2

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