Use o método de integração por partes para calcular:
a) integral1^3 5 x ln x d x

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral definida integral1^35xln x,dx. O conteúdo central é integração por partes, e vamos precisar da fórmula integral u,dv = uv - integral v,du, além de saber derivar ln x e integrar polinômios.

Passo 2

Pra aplicar integração por partes, escolhemos u = ln x (porque simplifica a derivada) e dv = 5x,dx (porque dá pra integrar fácil).
Derivando u obtemos du = 1x,dx. Integrando dv a gente tem
v = integral 5x,dx = 52x^2

Passo 3

Agora montamos a fórmula de partes pra integrais definidas:
integral1^3 u,dv = l[uvr]1^3 - integral1^3 v,du

Passo 4

Vamos calcular cada pedaço. O termo de fronteira é
l[tfrac52x^2ln xr]1^3 = 452ln3 - 0
E a integral remanescente dá
integral1^3 v,du = 52integral1^3x,dx = 52l[tfracx^22r]1^3 = 10

Passo 5

Por fim, substituímos esses valores na fórmula de integração por partes pra finalizar o cálculo.

Resposta

452ln3 - 10

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