Uma função
de
e
é harmônica se
em todo o dominio de
. Prove que a função dada é inarmônica.
f(x, y)=\cos x \operatorname{senh} y+\operatorname{sen} x \operatorname{cosh} y
f(x, y)=\cos x \operatorname{senh} y+\operatorname{sen} x \operatorname{cosh} y
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para provar que a função é inarmônica. Ou seja, o enunciado solicita mostrar que não vale
As informações relevantes são apenas a expressão de
e a definição de inarmonicidade (ou harmonicidade) via a soma das segundas derivadas parciais.
Passo 2
O que significa a condição que vamos verificar? Uma função
é dita harmônica se a sua Laplaciana é zero em todo o domínio, isto é, se
Para testar isso precisamos calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de
em relação a
e
e somá-las. Vou lembrar as regras de derivação que vamos usar:
-
e . -
e . - Regra do produto:
quando depende só de (e vice-versa).
Passo 3
Calcular a derivada parcial de
em relação a
. Tratando
e
como constantes em relação a
e aplicando a regra do produto:
Usando
e
obtemos
Passo 4
Agora a segunda derivada parcial em relação a
. Derivamos
em relação a
termo a termo:
Aplicando as regras de derivação de seno e cosseno:
Passo 5
Calcular a derivada parcial de
em relação a
. Agora
e
são constantes em relação a
:
Usando
e
obtemos
Passo 6
Agora a segunda derivada parcial em relação a
. Derivamos
em relação a
:
Aplicando as derivadas hiperbólicas:
Passo 7
Somar as segundas derivadas para obter a Laplaciana:
As parcelas se cancelam termo a termo, logo
Passo 8
Interpretação final: como a Laplaciana é identicamente zero em todo o domínio onde
está definida,
é uma função harmônica. Portanto a afirmação do enunciado (pedir para provar que é inarmônica) está incorreta — a verdade é que
é harmônica.
Resposta
A função é harmônica, pois
.