Uma função f de x e y é harmônica se
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0
em todo o dominio de f. Prove que a função dada é inarmônica.
f(x, y)=\cos x \operatorname{senh} y+\operatorname{sen} x \operatorname{cosh} y

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\cos x\,\operatorname{sinh} y+\sin x\,\operatorname{cosh} y
e pede para provar que a função é inarmônica. Ou seja, o enunciado solicita mostrar que não vale
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0.
As informações relevantes são apenas a expressão de f e a definição de inarmonicidade (ou harmonicidade) via a soma das segundas derivadas parciais.

Passo 2

O que significa a condição que vamos verificar? Uma função f(x,y) é dita harmônica se a sua Laplaciana é zero em todo o domínio, isto é, se
\Delta f:=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0.
Para testar isso precisamos calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de f em relação a x e y e somá-las. Vou lembrar as regras de derivação que vamos usar:
  • \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x e \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x.
  • \dfrac{d}{dy}\operatorname{sinh} y=\operatorname{cosh} y e \dfrac{d}{dy}\operatorname{cosh} y=\operatorname{sinh} y.
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dx}(u(x)v(y))=u'(x)v(y) quando v depende só de y (e vice-versa).

Passo 3

Calcular a derivada parcial de f em relação a x. Tratando \operatorname{sinh} y e \operatorname{cosh} y como constantes em relação a x e aplicando a regra do produto:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(\cos x\,\operatorname{sinh} y\big) + \frac{\partial}{\partial x}\big(\sin x\,\operatorname{cosh} y\big).
Usando \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x e \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x obtemos
\frac{\partial f}{\partial x} = -\sin x\,\operatorname{sinh} y+\cos x\,\operatorname{cosh} y.

Passo 4

Agora a segunda derivada parcial em relação a x. Derivamos \dfrac{\partial f}{\partial x} em relação a x termo a termo:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x}\big(-\sin x\,\operatorname{sinh} y\big) + \frac{\partial}{\partial x}\big(\cos x\,\operatorname{cosh} y\big).
Aplicando as regras de derivação de seno e cosseno:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = -\cos x\,\operatorname{sinh} y - \sin x\,\operatorname{cosh} y.

Passo 5

Calcular a derivada parcial de f em relação a y. Agora \cos x e \sin x são constantes em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(\cos x\,\operatorname{sinh} y\big) + \frac{\partial}{\partial y}\big(\sin x\,\operatorname{cosh} y\big).
Usando \dfrac{d}{dy}\operatorname{sinh} y=\operatorname{cosh} y e \dfrac{d}{dy}\operatorname{cosh} y=\operatorname{sinh} y obtemos
\frac{\partial f}{\partial y} = \cos x\,\operatorname{cosh} y+\sin x\,\operatorname{sinh} y.

Passo 6

Agora a segunda derivada parcial em relação a y. Derivamos \dfrac{\partial f}{\partial y} em relação a y:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = \frac{\partial}{\partial y}\big(\cos x\,\operatorname{cosh} y\big) + \frac{\partial}{\partial y}\big(\sin x\,\operatorname{sinh} y\big).
Aplicando as derivadas hiperbólicas:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = \cos x\,\operatorname{sinh} y+\sin x\,\operatorname{cosh} y.

Passo 7

Somar as segundas derivadas para obter a Laplaciana:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = \big(-\cos x\,\operatorname{sinh} y - \sin x\,\operatorname{cosh} y\big) + \big(\cos x\,\operatorname{sinh} y+\sin x\,\operatorname{cosh} y\big).
As parcelas se cancelam termo a termo, logo
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0.

Passo 8

Interpretação final: como a Laplaciana é identicamente zero em todo o domínio onde f está definida, f é uma função harmônica. Portanto a afirmação do enunciado (pedir para provar que é inarmônica) está incorreta — a verdade é que f é harmônica.

Resposta

A função é harmônica, pois \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0.

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