Para a função
Encontre todos os pontos críticos e indique quais são candidatos a extremos.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede todos os pontos críticos e quais são candidatos a extremos. Isso é conteúdo de cálculo em duas variáveis, onde para achar pontos críticos precisamos resolver
e depois classificar cada ponto usando a matriz Hessiana ou análise direcional.
Passo 2
Calcule as derivadas parciais de
:
Passo 3
Impondo
, resolvemos o sistema
Da segunda equação vem
. Substituindo em
obtemos
Logo o único ponto crítico é
.
Passo 4
Para classificar usamos a matriz Hessiana
Derivando de
em
e
, e de
, obtém-se
Passo 5
Avalie
em
. Aqui
, então
A determinante é
de modo que o teste de segunda derivada fica inconclusivo.
Passo 6
Como
, examinamos direções específicas:
- Em
, tem e para próximo de o valor de diminui, indicando máximo nessa direção. - Em
, satisfaz para , indicando mínimo nessa direção.
Como numas direções o ponto se comporta como máximo e noutras como mínimo, trata-se de ponto de sela.
Resposta
O único ponto crítico é
, que é ponto de sela (não há extremos locais).