Para a função
f(x, y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}+1\right)-x,
Encontre todos os pontos críticos e indique quais são candidatos a extremos.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\ln\bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr)-x
e pede todos os pontos críticos e quais são candidatos a extremos. Isso é conteúdo de cálculo em duas variáveis, onde para achar pontos críticos precisamos resolver \nabla f=0 e depois classificar cada ponto usando a matriz Hessiana ou análise direcional.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais de f:
f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\Bigl[\ln(x^{2}+y^{2}+1)\Bigr]-1 =\frac{2x}{x^{2}+y^{2}+1}-1,
f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\Bigl[\ln(x^{2}+y^{2}+1)\Bigr] =\frac{2y}{x^{2}+y^{2}+1}.

Passo 3

Impondo \nabla f=0, resolvemos o sistema
\frac{2x}{x^{2}+y^{2}+1}-1=0, \quad \frac{2y}{x^{2}+y^{2}+1}=0.
Da segunda equação vem y=0. Substituindo em 2x/(x^{2}+1)=1 obtemos
2x = x^{2}+1 \;\Longrightarrow\; x^{2}-2x+1=0 \;\Longrightarrow\; (x-1)^{2}=0 \;\Longrightarrow\; x=1.
Logo o único ponto crítico é (1,0).

Passo 4

Para classificar usamos a matriz Hessiana
H_f(x,y)= \begin{pmatrix} f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y)\\[6pt] f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y) \end{pmatrix}.
Derivando de f_x=2x/(x^{2}+y^{2}+1)-1 em x e y, e de f_y=2y/(x^{2}+y^{2}+1), obtém-se
f_{xx}(x,y) =\frac{2\bigl(-x^{2}+y^{2}+1\bigr)}{(x^{2}+y^{2}+1)^{2}},\quad f_{yy}(x,y) =\frac{2\bigl(x^{2}-y^{2}+1\bigr)}{(x^{2}+y^{2}+1)^{2}},
f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y) =-\frac{4xy}{(x^{2}+y^{2}+1)^{2}}.]

Passo 5

Avalie H_f em (1,0). Aqui A=1^{2}+0+1=2, então
f_{xx}(1,0)=\frac{2(-1+0+1)}{2^{2}}=0, \quad f_{yy}(1,0)=\frac{2(1-0+1)}{2^{2}}=1, \quad f_{xy}(1,0)=0.
A determinante é
\det H_f(1,0)= 0\cdot 1 - 0 = 0,
de modo que o teste de segunda derivada fica inconclusivo.

Passo 6

Como \det H_f(1,0)=0, examinamos direções específicas:
  1. Em y=0, f(x,0)=\ln(x^{2}+1)-x tem f(1,0)=\ln2-1 e para x próximo de 1 o valor de f diminui, indicando máximo nessa direção.
  2. Em x=1, f(1,y)=\ln(2+y^{2})-1 satisfaz f(1,y)>f(1,0) para y\neq0, indicando mínimo nessa direção.
    Como numas direções o ponto se comporta como máximo e noutras como mínimo, trata-se de ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico é (1,0), que é ponto de sela (não há extremos locais).

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