Seja \mathbf{v} uma função vetorial derivável de t. Mostre que, se \mathbf{v} \cdot(d \mathbf{v} / d t)=0 para todo t, entāo |\mathbf{v}| é constante.

Passo 1

O enunciado nos dá uma função vetorial derivável \mathbf{v}(t) e afirma que
\mathbf{v}(t)\cdot \frac{d\mathbf{v}}{dt}(t) = 0
para todo t. Queremos mostrar que a norma |\mathbf{v}(t)| não varia com t, ou seja, é constante.

Passo 2

Para explorar essa condição, definimos a função escalar
f(t) = \bigl|\mathbf{v}(t)\bigr|^2 = \mathbf{v}(t)\cdot \mathbf{v}(t).
Assim, se mostrarmos que f'(t)=0 em todo t, segue que f(t) é constante e então |\mathbf{v}(t)| também é constante.

Passo 3

Calculamos a derivada de f(t) usando a regra do produto para o produto escalar:
f'(t) = \frac{d}{dt}\bigl[\mathbf{v}(t)\cdot \mathbf{v}(t)\bigr] = \frac{d\mathbf{v}}{dt}(t)\cdot \mathbf{v}(t) + \mathbf{v}(t)\cdot \frac{d\mathbf{v}}{dt}(t) = 2\,\mathbf{v}(t)\cdot \frac{d\mathbf{v}}{dt}(t).

Passo 4

Pela hipótese \mathbf{v}(t)\cdot \frac{d\mathbf{v}}{dt}(t)=0, concluímos
f'(t)=2\cdot 0 = 0
para todo t. Logo, f(t) é constante e, consequentemente, \bigl|\mathbf{v}(t)\bigr| é constante.

Resposta

|\mathbf{v}(t)| é constante.

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