Seja
uma função vetorial derivável de
. Mostre que, se
para todo
, entāo
é constante.
Passo 1
O enunciado nos dá uma função vetorial derivável
e afirma que
para todo
. Queremos mostrar que a norma
não varia com
, ou seja, é constante.
Passo 2
Para explorar essa condição, definimos a função escalar
Assim, se mostrarmos que
em todo
, segue que
é constante e então
também é constante.
Passo 3
Calculamos a derivada de
usando a regra do produto para o produto escalar:
Passo 4
Pela hipótese
, concluímos
para todo
. Logo,
é constante e, consequentemente,
é constante.