Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique.
\int_{0}^{+\infty} e^{-s t} d t

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria \displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-s t}\,dt em função do parâmetro s. Vamos usar cálculo de primitiva e limites para verificar para quais valores de s o resultado é finito.

Passo 2

Para s\neq 0, calculamos a primitiva de e^{-s t}:
\int e^{-s t}\,dt=-\frac{1}{s}e^{-s t}.
Logo, definindo
I(A)=\int_{0}^{A}e^{-s t}\,dt =\left[-\frac{1}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{A} =\frac{1}{s}\bigl(1-e^{-sA}\bigr).

Passo 3

Agora avaliamos o limite quando A\to+\infty:
\lim_{A\to+\infty}I(A) =\frac{1}{s}\lim_{A\to+\infty}\bigl(1-e^{-sA}\bigr).
Se s>0, então e^{-sA}\to0 e o limite é \tfrac{1}{s}, finito (converge). Se s<0, então e^{-sA}=e^{|s|A}\to+\infty e I(A)\to-\infty (diverge).

Passo 4

Para s=0, o integrando é e^{0}=1 e temos
\int_{0}^{+\infty}1\,dt,
que é a área de um retângulo de base infinita, portanto diverge.

Resposta

A integral \displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-s t}\,dt converge somente se s>0, e nesse caso vale \tfrac{1}{s}. Para s\le0 ela diverge.

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