Se uma função F(x, y) satisfaz a condição
F(t x, t y)=F(x, y)
dizemos que F(x, y) é homogênea de grau 0 . Neste caso a equação diferencial y^prime= F(x, y) se reduz à uma equação separável pela substitução
z=z(x)=yx , y^prime=x z^prime+z
Use este método para resolver
(a) y^prime=2 xx+y.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' = 2xx+y
sabendo que F(x,y)=2x/(x+y) é homogênea de grau zero. Vamos aplicar a substituição
z = yx, y = zx, y' = x,z' + z
para reduzir a equação a uma forma separável.

Passo 2

Substituindo y=zx e y'=x z' + z em
y' = 2xx+y
temos
x,z' + z = 2xx + zx = 2xx(1+z) = 21+z
Isolando z':
x,z' = 21+z - z = 2 - z(1+z)1+z = -l(z^2 + z - 2r)1+z = -(z+2)(z-1)1+z

Passo 3

Escrevendo dz/dx e separando variáveis:
dzdx = -(z+2)(z-1)x(1+z),
1+z(z+2)(z-1),dz = -dxx

Passo 4

Fazendo frações parciais em
1+z(z+2)(z-1) = Az-1 + Bz+2,
temos
1+z = A(z+2) + B(z-1) implies A+B = 1,; 2A - B = 1 ;Rightarrow; A = tfrac23,;B = tfrac13
Logo
integral!l(2/3z-1 + 1/3z+2r),dz = -integraldxx
implica
23lnlvert z-1rvert + 13lnlvert z+2rvert = -lnlvert xrvert + C
Multiplicando por 3 e combinando logaritmos:
lnl[(z-1)^2(z+2)r] = -3lnlvert xrvert + C',
(z-1)^2(z+2) = K,x^-3,
onde K=e^C' é constante.

Passo 5

Voltando à variável original z=y/x, obtemos a solução implícita
l(tfracyx-1r)^2l(tfracyx+2r) = K,x^-3
Multiplicando ambos os lados por x^3 chega-se a
(y - x)^2 (y + 2x) = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

(y - x)^2 ,(y + 2x) = C

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