Q 34 Resolva as integrais das funções racionais.
integral x+1(x^2+9)^2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma função racional
integral x+1(x^2+9)^2,dx
O conteúdo aqui é integração de funções racionais por decomposição do numerador e uso de substituições (substituição simples e trigonométrica). Vamos dividir a integral em duas partes que conseguimos resolver com técnicas conhecidas.

Passo 2

Separamos
integral x+1(x^2+9)^2,dx =integral x(x^2+9)^2,dx +integral 1(x^2+9)^2,dx
A primeira parte será feita com u-substituição; a segunda, com substituição trigonométrica.

Passo 3

Calculemos integral x(x^2+9)^2,dx.
Faça a troca u = x^2+9, então du = 2x,dx e x,dx = du/2. Assim
integral x(x^2+9)^2,dx =12integral u^-2,du =-12u+C =-12(x^2+9)+C

Passo 4

Agora integral 1(x^2+9)^2,dx. Use x=3tantheta, logo dx=3sec^2theta,dtheta e
(x^2+9)^2=(9tan^2theta+9)^2 =81sec^4theta
A integral vira
integral 1(x^2+9)^2,dx =integral 3sec^2theta81sec^4theta,dtheta =127integral cos^2theta,dtheta
E como cos^2theta=(1+cos2theta)/2,
127integral cos^2theta,dtheta =127cdot12integral(1+cos2theta),dtheta =154l(theta+tfrac12sin2thetar)+C
Voltando a x:
theta=arctan!l(tfracx3r), sin2theta=6xx^2+9
Logo
integral 1(x^2+9)^2,dx =154arctan!l(tfracx3r) +1108,6xx^2+9 =154arctan!l(tfracx3r) +x18(x^2+9)+C

Passo 5

Somando as duas partes (ignorando constantes separadas, juntamos num só +C):
integral x+1(x^2+9)^2,dx =-12(x^2+9) +l[x18(x^2+9)+154arctan!l(tfracx3r)r]+C

Passo 6

Combine os termos racionais sobre (x^2+9):
-12(x^2+9)+x18(x^2+9) =-9+x18(x^2+9) =x-918(x^2+9)
Então a integral final é
boxed integral x+1(x^2+9)^2,dx =x-918(x^2+9) +154arctan!l(tfracx3r) + C

Resposta

x-918(x^2+9) +154arctan!l(tfracx3r) + C

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