Em cada caso abaixo, encontre o primeiro inteiro positivo n0 para o qual a sentença é verdadeira e, usando a extensão do Método de Indução, prove que a sentença matemática é verdadeira para qualquer número inteiro maior do que n0 :
(d) 2 n+2 <= 2^n

Passo 1

O enunciado pede para achar o menor inteiro positivo n0 tal que
2n+2 <= 2^n
e, em seguida, usar indução para mostrar que, a partir de n0, a desigualdade vale para todo n>= n0.

Passo 2

Vamos testar valores de n para encontrar n0:
Para n=1:
2cdot1+2=4 e 2^1=2, 4<=2? não ã
Para n=2:
2cdot2+2=6 e 2^2=4, 6<=4? não ã
Para n=3:
2cdot3+2=8 e 2^3=8, 8<=8? sim
Logo, o primeiro inteiro positivo que funciona é
n0=3

Passo 3

Base da indução ( n=3):
2cdot3+2=8 e 2^3=8,
portanto
2cdot3+2 <= 2^3
está verificado.

Passo 4

Passo indutivo. Suponha que, para algum n>=3, valha a hipótese de indução
2n+2 <= 2^n
Queremos mostrar que
2(n+1)+2 <= 2^,n+1
Observe que
2(n+1)+2 = 2n+4 = (2n+2)+2 <= 2^n+2
Como para n>=3 temos 2^n>=2, segue
2^n+2 <= 2^n+2^n = 2cdot2^n = 2^,n+1
Assim
2(n+1)+2 <= 2^,n+1,
fechando o passo indutivo.

Passo 5

Pelo princípio da indução, a desigualdade
2n+2 <= 2^n
vale para todo inteiro n>= n0=3.

Resposta

n0=3 e a desigualdade vale para todo n>=3.

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