Em cada caso abaixo, encontre o primeiro inteiro positivo
para o qual a sentença é verdadeira e, usando a extensão do Método de Indução, prove que a sentença matemática é verdadeira para qualquer número inteiro maior do que
:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para achar o menor inteiro positivo
tal que
e, em seguida, usar indução para mostrar que, a partir de
, a desigualdade vale para todo
.
Passo 2
Vamos testar valores de
para encontrar
:
Para :
Para
Para
:
Para
:
Logo, o primeiro inteiro positivo que funciona é
Passo 3
Base da indução (
):
portanto
está verificado.
Passo 4
Passo indutivo. Suponha que, para algum
, valha a hipótese de indução
Queremos mostrar que
Observe que
Como para
temos
, segue
Assim
fechando o passo indutivo.
Passo 5
Pelo princípio da indução, a desigualdade
vale para todo inteiro
.