Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as funções
cosnpi xL e
cosmpi xL são ortogonais em
[-L,L] , isto é, avaliar
Vamos usar a identidade de produto-soma para cossenos.
Passo 2
Aplicamos a identidade
com
A=tfracnpi xL e
B=tfracmpi xL . Assim
Passo 3
Substituindo no integral, fica
Passo 4
Para inteiro
kneq0 vale
Se
nneq m , então
n-mneq0 e
n+mneq0 , logo ambas as integrais desaparecem e o resultado é
0 .
Passo 5
Se
n=m , então
costfrac(n-m)pi xL=cos0=1 e
enquanto a outra integral, com
k=2nneq0 , continua sendo zero. Assim