Mostre que
integral-L^L cos n pi xL cos m pi xL d x=cccL & se & n=m >= 1 0 & se & n neq m, m, n >= 1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções cosnpi xL e cosmpi xL são ortogonais em [-L,L], isto é, avaliar
integral-L^Lcosnpi xLcosmpi xL,dx
Vamos usar a identidade de produto-soma para cossenos.

Passo 2

Aplicamos a identidade
cos Acos B = tfrac12l(cos(A-B)+cos(A+B)r)
com A=tfracnpi xL e B=tfracmpi xL. Assim
cosnpi xLcosmpi xL = tfrac12l(cos(n-m)pi xL + cos(n+m)pi xLr)

Passo 3

Substituindo no integral, fica
integral-L^Lcosnpi xLcosmpi xL,dx = tfrac12integral-L^Lcos(n-m)pi xL,dx + tfrac12integral-L^Lcos(n+m)pi xL,dx

Passo 4

Para inteiro kneq0 vale
integral-L^Lcoskpi xL,dx = l[Lkpisinkpi xLr]-L^L = Lkpil(sin kpi - sin(-kpi)r) =0
Se nneq m, então n-mneq0 e n+mneq0, logo ambas as integrais desaparecem e o resultado é 0.

Passo 5

Se n=m, então costfrac(n-m)pi xL=cos0=1 e
integral-L^L1,dx = 2L,
enquanto a outra integral, com k=2nneq0, continua sendo zero. Assim
integral-L^Lcos^2npi xL,dx = tfrac12cdot2L = L

Resposta

integral-L^Lcosnpi xLcosmpi xL,dx = L, & n=m>=1, 0, & nneq m,;m,n>=1

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