O período fundamental de uma função periódica é definido como o menor T>0 tal que f(x+T)=f(x), para todo x. Dê um exemplo de uma função periódica sem período fundamental.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de função fcolonRtoR que seja periódica (isto é, existe T>0 tal que f(x+T)=f(x) para todo x) mas que não tenha menor período positivo (nenhum T>0 é o “fundamental”). Vamos usar a definição de período e examinar o conjunto de todos os períodos.

Passo 2

Considere a função constante
f(x)=c,
onde c é qualquer número real fixo. Então para qualquer T>0 vale
f(x+T)=c=f(x),
ou seja, todo T>0 é período de f.

Passo 3

O conjunto de períodos de f é T>0. Suponha, por absurdo, que exista um menor período T0>0. Mas então T0/2>0 também seria período (porque todo número positivo é período), e T0/2<T0, contradizendo a minimalidade de T0. Logo não existe menor período positivo.

Resposta

Um exemplo simples é a função constante
f(x)=c,
que é periódica com todo T>0 e, portanto, não possui período fundamental.

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