O período fundamental de uma função periódica é definido como o menor
tal que
, para todo
. Dê um exemplo de uma função periódica sem período fundamental.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de função
que seja periódica (isto é, existe
tal que
para todo
) mas que não tenha menor período positivo (nenhum
é o “fundamental”). Vamos usar a definição de período e examinar o conjunto de todos os períodos.
Passo 2
Considere a função constante
onde
é qualquer número real fixo. Então para qualquer
vale
ou seja, todo
é período de
.
Passo 3
O conjunto de períodos de
é
. Suponha, por absurdo, que exista um menor período
. Mas então
também seria período (porque todo número positivo é período), e
, contradizendo a minimalidade de
. Logo não existe menor período positivo.
Resposta
Um exemplo simples é a função constante
que é periódica com todo
e, portanto, não possui período fundamental.