(1.5) A função f(x, y)=x^13 y^13 é diferenciável em (0,0) ?

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se a função
f(x,y)=x^13y^13
é diferenciável em (0,0). Vamos usar a definição de diferenciabilidade: f é diferenciável em (0,0) se existem as derivadas parciais em (0,0) e se
f(x,y)-f(0,0)-fx(0,0),x - fy(0,0),yraizx^2+y^2to 0quando (x,y)to(0,0)

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais em (0,0) pela definição:
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0h^1/3cdot0^1/3-0h=0,
fy(0,0)=limhto0f(0,h)-f(0,0)h =limhto00^1/3cdot h^1/3-0h=0

Passo 3

Se f fosse diferenciável em (0,0), teríamos a melhor aproximação linear nula, de modo que o resto deve satisfazer
f(x,y)raizx^2+y^2to0 quando (x,y)to(0,0)

Passo 4

Mostramos que essa condição falha ao tomar y=x>0. Nesse caso
f(x,x)=(xcdot x)^1/3=x^2/3,
e
raizx^2+x^2=raiz2,x
Logo
f(x,x)raizx^2+x^2 =x^2/3raiz2,x =1raiz2,x^-1/3
que tende a +infty quando xto0^+, em particular não tende a zero.

Passo 5

Como o quociente acima não tende a zero, a condição de diferenciabilidade não se satisfaz. Concluímos que f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

A função f(x,y)=x^13y^13 não é diferenciável em (0,0).

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