(1.5) A função
é diferenciável em
?
Passo 1
O enunciado nos pede para verificar se a função
é diferenciável em
. Vamos usar a definição de diferenciabilidade:
é diferenciável em
se existem as derivadas parciais em
e se
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais em
pela definição:
Passo 3
Se
fosse diferenciável em
, teríamos a melhor aproximação linear nula, de modo que o resto deve satisfazer
Passo 4
Mostramos que essa condição falha ao tomar
. Nesse caso
e
Logo
que tende a
quando
, em particular não tende a zero.
Passo 5
Como o quociente acima não tende a zero, a condição de diferenciabilidade não se satisfaz. Concluímos que
não é diferenciável em
.
Resposta
A função
não é diferenciável em
.