Usando coordenadas esféricas, calcule o volume do sólido limitado abaixo pela folha superior do cone z^2=x^2+y^2 e acima pela esfera x^2+y^2+z^2=9 (2,0 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando coordenadas esféricas! O problema pede para calcular o volume da região que está abaixo da parte superior do cone definido por $ z^{2} = x^{2} + y^{2} $ e acima da esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 $. Para isso, vamos precisar entender coordenadas esféricas e como usá-las para calcular volumes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas esféricas. Em vez de usar x, y, e z, usamos três parâmetros:
  • $ \rho $: a distância do ponto à origem.
  • $ \theta $: o ângulo no plano rho (como longitude).
  • $ \phi $: o ângulo entre o vetor $ \rho $ e o eixo theta (como latitude).
As relações entre as coordenadas cartesianas e esféricas são:
xy
phi
rho

Passo 3

Vamos identificar onde o cone e a esfera se intersectam. A equação da esfera é $ \rho = 3 $ (já que $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 $ é uma esfera de raio 3). Para o cone $ z^{2} = x^{2} + y^{2} $, substituindo as coordenadas esféricas:
rho = 3
Simplificando:
x^2 + y^2 + z^2 = 9
z^2 = x^2 + y^2
(rho cosphi)^2 = (rho sinphi costheta)^2 + (rho sinphi sintheta)^2
Então, o cone faz um ângulo de rho^2 cos^2phi = rho^2 sin^2phi (cos^2theta + sin^2theta) com o eixo cos^2phi = sin^2phi .

Passo 4

Para encontrar o volume desejado, vamos integrar em coordenadas esféricas com os seguintes limites:
  • $ \rho $ vai de 0 até 3 (raio da esfera).
  • $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $ (circunferência completa).
  • $ \phi $ varia de 0 até $ \frac{\pi}{4} $ (até onde o cone atinge a esfera).
A fórmula para o volume em coordenadas esféricas é:
rho

Passo 5

Vamos calcular a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a $ \rho $:
rho
Agora, nossa integral fica:
integral0^3 rho^2 drho = [ rho^33 ]0^3 = 273 = 9

Passo 6

Em seguida, integramos em relação a $ \phi $:
phi
integral0^pi4 9 sinphi , dphi = 9 [ -cosphi ]0^pi4 = 9 ( -cospi4 + cos 0 ) = 9 ( -raiz22 + 1 )
Agora, a integral fica:
= 9 (1 - raiz22)

Passo 7

Finalmente, integramos em relação a $ \theta $:
theta
Portanto,
integral0^2pi dtheta = 2pi
V = 9 (1 - raiz22) times 2pi = 18pi (1 - raiz22)

Resposta

O volume do sólido é $ V = 18\pi - 9\pi\sqrt{2} $ unidades cúbicas.

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