Usando coordenadas esféricas, calcule o volume do sólido limitado abaixo pela folha superior do cone
e acima pela esfera
pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando coordenadas esféricas! O problema pede para calcular o volume da região que está abaixo da parte superior do cone definido por $ z^{2} = x^{2} + y^{2} $ e acima da esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 $. Para isso, vamos precisar entender coordenadas esféricas e como usá-las para calcular volumes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas esféricas. Em vez de usar
,
, e
, usamos três parâmetros:
- $ \rho $: a distância do ponto à origem.
- $ \theta $: o ângulo no plano
(como longitude). - $ \phi $: o ângulo entre o vetor $ \rho $ e o eixo
(como latitude).
As relações entre as coordenadas cartesianas e esféricas são:
Passo 3
Vamos identificar onde o cone e a esfera se intersectam. A equação da esfera é $ \rho = 3 $ (já que $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 $ é uma esfera de raio 3). Para o cone $ z^{2} = x^{2} + y^{2} $, substituindo as coordenadas esféricas:
Simplificando:
Então, o cone faz um ângulo de
com o eixo
.
Passo 4
Para encontrar o volume desejado, vamos integrar em coordenadas esféricas com os seguintes limites:
- $ \rho $ vai de 0 até 3 (raio da esfera).
- $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $ (circunferência completa).
- $ \phi $ varia de 0 até $ \frac{\pi}{4} $ (até onde o cone atinge a esfera).
A fórmula para o volume em coordenadas esféricas é:
Passo 5
Vamos calcular a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a $ \rho $:
Agora, nossa integral fica:
Passo 6
Em seguida, integramos em relação a $ \phi $:
Agora, a integral fica:
Passo 7
Finalmente, integramos em relação a $ \theta $:
Portanto,
Resposta
O volume do sólido é $ V = 18\pi - 9\pi\sqrt{2} $ unidades cúbicas.