Sendo
uma função analítica numa região
, mostre que
é conjugada harmônica de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, se
é uma função analítica numa região
, então
é conjugada harmônica de
. Isso está dentro da matéria de Análise Complexa, especificamente sobre funções analíticas e funções harmônicas. Para resolver, vamos precisar entender as Equações de Cauchy-Riemann e o conceito de funções harmônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função
ser analítica significa que suas partes reais
e imaginárias
satisfazem as Equações de Cauchy-Riemann. Essas equações são:
Passo 3
Agora, uma função harmônica é aquela que satisfaz a Equação de Laplace, ou seja:
Queremos mostrar que
e
são harmônicas.
Passo 4
Vamos verificar se
é harmônica. Calculando as derivadas segundas de
:
Usando as Equações de Cauchy-Riemann:
Somando:
Então,
é harmônica.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
é harmônica. Calculando as derivadas segundas de
:
Como
também é harmônica (pela função analítica), temos:
Portanto,
também é harmônica.
Passo 6
Por último, já que
e
são funções harmônicas e satisfazem as Equações de Cauchy-Riemann:
Isso mostra que
é conjugada harmônica de
.
Resposta
Portanto, demonstramos que
é conjugada harmônica de
.