Sendo f=u+iv uma função analítica numa região R, mostre que u é conjugada harmônica de -v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, se f = u + iv é uma função analítica numa região R, então u é conjugada harmônica de -v. Isso está dentro da matéria de Análise Complexa, especificamente sobre funções analíticas e funções harmônicas. Para resolver, vamos precisar entender as Equações de Cauchy-Riemann e o conceito de funções harmônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função f = u + iv ser analítica significa que suas partes reais u e imaginárias v satisfazem as Equações de Cauchy-Riemann. Essas equações são:
partial upartial x = partial vpartial y e partial upartial y = -partial vpartial x

Passo 3

Agora, uma função harmônica é aquela que satisfaz a Equação de Laplace, ou seja:
partial^2 phipartial x^2 + partial^2 phipartial y^2 = 0
Queremos mostrar que u e -v são harmônicas.

Passo 4

Vamos verificar se u é harmônica. Calculando as derivadas segundas de u:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2
Usando as Equações de Cauchy-Riemann:
partial^2 upartial x^2 = partialpartial x(partial vpartial y) = partial^2 vpartial x partial y
partial^2 upartial y^2 = partialpartial y(-partial vpartial x) = -partial^2 vpartial y partial x
Somando:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = partial^2 vpartial x partial y - partial^2 vpartial y partial x = 0
Então, u é harmônica.

Passo 5

Agora, vamos verificar se -v é harmônica. Calculando as derivadas segundas de -v:
partial^2 (-v)partial x^2 + partial^2 (-v)partial y^2 = -(partial^2 vpartial x^2 + partial^2 vpartial y^2)
Como v também é harmônica (pela função analítica), temos:
partial^2 vpartial x^2 + partial^2 vpartial y^2 = 0 Rightarrow partial^2 (-v)partial x^2 + partial^2 (-v)partial y^2 = 0
Portanto, -v também é harmônica.

Passo 6

Por último, já que u e -v são funções harmônicas e satisfazem as Equações de Cauchy-Riemann:
partial upartial x = partial (-v)partial y e partial upartial y = -partial (-v)partial x
Isso mostra que u é conjugada harmônica de -v.

Resposta

Portanto, demonstramos que u é conjugada harmônica de -v.

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