A função f(x, y)=a(x^2-y^2)-2 y+i(6 x y+b x) é analítica em todo o plano complexo. Encontre o valor de a+b.
d) 4

Passo 1

O enunciado pede para determinar a soma dos parâmetros a+b de modo que a função f(x,y)=a(x^2-y^2)-2y+i(6xy+bx) seja analítica em todo o plano. Estamos num contexto de funções de variável complexa, e vamos usar as equações de Cauchy-Riemann para impor a analiticidade, ou seja, que as derivadas parciais da parte real e imaginária estejam relacionadas.

Passo 2

Primeiro identificamos a parte real u(x,y) e a parte imaginária v(x,y):
u(x,y)=a(x^2-y^2)-2y,
v(x,y)=6xy+bx
As equações de Cauchy-Riemann dizem:
ux=vy,
uy=-vx

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais e resolver para a e b:
ux=2ax,
uy=-2ay-2,
vx=6y+b,
vy=6x
Da primeira equação
$$
u_x=v_y,\Rightarrow,2ax=6x\quadpara todox ux=vy,Rightarrow,2ax=6xpara todo x
u_y=-v_x,\Rightarrow,-2ay-2=-(6y+b) a=3-2\cdot3,y-2=-6y-b$$
uy=-vx,Rightarrow,-2ay-2=-(6y+b)
Isso dá a=3. Somando, -2cdot3,y-2=-6y-b.

Resposta

5

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