Escolhendo o ramo principal de \operatorname{arctgh} z para o qual \operatorname{arctgh} 0=0, prove que
\operatorname{arctgh} z=\frac{1}{2} \ln \left(\frac{1+z}{1-z}\right) .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma expressão fechada para o ramo principal da função inversa de \operatorname{tanh} w, ou seja
\text{seja }w=\operatorname{arctgh}z\text{ tal que }\operatorname{tanh} w=z\quad\text{e}\quad\operatorname{arctgh}0=0.
O conteúdo usado será a definição de \operatorname{tanh} w em termos de exponenciais e a resolução algébrica para w.

Passo 2

Escrevemos a definição de \operatorname{tanh} w e igualamos a z:
\operatorname{tanh} w=\frac{e^{w}-e^{-w}}{e^{w}+e^{-w}}=z.
Queremos isolar w nessa equação.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por e^{w}+e^{-w} e organizamos os termos:
e^{w}-e^{-w}=z\bigl(e^{w}+e^{-w}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad e^{w}-e^{-w}=z\,e^{w}+z\,e^{-w}.
Colocando todos os termos com e^{w} de um lado e com e^{-w} do outro, temos
e^{w}-z\,e^{w}=e^{-w}+z\,e^{-w} \quad\Longrightarrow\quad e^{w}(1-z)=e^{-w}(1+z).

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por e^{w} para obter potências únicas de e:
e^{2w}(1-z)=1+z \quad\Longrightarrow\quad e^{2w}=\frac{1+z}{1-z}.

Passo 5

Aplicamos o logaritmo natural (ramo principal) em ambos os lados. Como escolhemos o ramo principal de \ln, garantimos que em z=0 a constante de integração seja zero e, portanto,
2w=\ln\!\Bigl(\frac{1+z}{1-z}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad w=\frac{1}{2}\,\ln\!\Bigl(\frac{1+z}{1-z}\Bigr).
Aqui w é justamente \operatorname{arctgh}z.

Passo 6

Verificamos que, para z=0, a fórmula dá
\operatorname{arctgh}0 =\frac{1}{2}\,\ln\!\Bigl(\frac{1+0}{1-0}\Bigr) =\frac{1}{2}\,\ln(1) =0,
como exigido.

Resposta

\boxed{ \operatorname{arctgh}z =\frac{1}{2}\,\ln\!\Bigl(\frac{1+z}{1-z}\Bigr). }

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