Escolhendo o ramo principal de
para o qual
, prove que
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma expressão fechada para o ramo principal da função inversa de
, ou seja
O conteúdo usado será a definição de
em termos de exponenciais e a resolução algébrica para
.
Passo 2
Escrevemos a definição de
e igualamos a
:
Queremos isolar
nessa equação.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
e organizamos os termos:
Colocando todos os termos com
de um lado e com
do outro, temos
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por
para obter potências únicas de
:
Passo 5
Aplicamos o logaritmo natural (ramo principal) em ambos os lados. Como escolhemos o ramo principal de
, garantimos que em
a constante de integração seja zero e, portanto,
Aqui
é justamente
.
Passo 6
Verificamos que, para
, a fórmula dá
como exigido.