A função f(z)=u(x, y)+i v(x, y) é analítica. Mostre que f^*(z^*) também é analítica.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função complexa f(z)=u(x,y)+i v(x,y) que é analítica, ou seja, suas componentes reais u e imaginárias v satisfazem as equações de Cauchy–Riemann. Precisamos mostrar que g(w)=f*(w*) também é analítica.

Passo 2

Para investigar g(w)=f*(w), façamos a mudança de variável w=x’-i y’ (então w^=x’+i y’). Escrevemos g(w)=f*(w) em termos de coordenadas reais (X,Y) definidas por X=Re(w), Y=Im(w). Observe que w^=X - iY e, portanto, se w^*=x+ i y, temos X=x e Y=-y.

Passo 3

Definimos U(X,Y) e V(X,Y) pelas partes real e imaginária de g(w), isto é,
g(w)=f^*(w^*)=u(x,y)-i,v(x,y)=U(X,Y)+iV(X,Y)
Como X=x e Y=-y, segue
U(X,Y)=u(X,-Y),
V(X,Y)=-v(X,-Y)

Passo 4

Agora calculamos as derivadas parciais de U e V em relação a X e Y:
UX=partial upartial x(X,-Y), UY=-partial upartial y(X,-Y),
VX=-partial vpartial x(X,-Y), VY=partial vpartial y(X,-Y)

Passo 5

Como f(z) é analítica, suas componentes satisfazem as equações de Cauchy–Riemann em (x,y):
ux=vy, uy=-vx
Avaliando em (X,-Y) obtemos
ux(X,-Y)=vy(X,-Y), uy(X,-Y)=-vx(X,-Y)

Passo 6

Substituindo essas relações em U_X, U_Y, V_X e V_Y temos
UX=vy(X,-Y)=VY,
UY=-uy(X,-Y)=vx(X,-Y)=-VX
Logo U_X=V_Y e U_Y=-V_X, isto é, U e V satisfazem as equações de Cauchy–Riemann em (X,Y).

Passo 7

Como as equações de Cauchy–Riemann estão satisfeitas e as derivadas parciais são contínuas, concluímos que g(w)=f*(w*) é analítica.

Resposta

A função f*(z*) satisfaz as equações de Cauchy–Riemann e, portanto, é analítica.

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