A função
é analítica. Mostre que
também é analítica.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função complexa f(z)=u(x,y)+i v(x,y) que é analítica, ou seja, suas componentes reais u e imaginárias v satisfazem as equações de Cauchy–Riemann. Precisamos mostrar que g(w)=f*(w*) também é analítica.
Passo 2
Para investigar g(w)=f*(w), façamos a mudança de variável w=x’-i y’ (então w^=x’+i y’). Escrevemos g(w)=f*(w) em termos de coordenadas reais (X,Y) definidas por X=Re(w), Y=Im(w). Observe que w^=X - iY e, portanto, se w^*=x+ i y, temos X=x e Y=-y.
Passo 3
Definimos U(X,Y) e V(X,Y) pelas partes real e imaginária de g(w), isto é,
Como X=x e Y=-y, segue
Passo 4
Agora calculamos as derivadas parciais de U e V em relação a X e Y:
Passo 5
Como f(z) é analítica, suas componentes satisfazem as equações de Cauchy–Riemann em (x,y):
Avaliando em (X,-Y) obtemos
Passo 6
Substituindo essas relações em U_X, U_Y, V_X e V_Y temos
Logo U_X=V_Y e U_Y=-V_X, isto é, U e V satisfazem as equações de Cauchy–Riemann em (X,Y).
Passo 7
Como as equações de Cauchy–Riemann estão satisfeitas e as derivadas parciais são contínuas, concluímos que g(w)=f*(w*) é analítica.
Resposta
A função f*(z*) satisfaz as equações de Cauchy–Riemann e, portanto, é analítica.