A série de Fourier de uma função
em um intervalo simétrico
é fornecida por:
onde
e
obter os coeficientes da série de Fourier para as funções fornecidas abaixo:
para
Passo 1
Temos a função f(x)=x definida em -π<x<π e queremos montar sua série de Fourier, ou seja, encontrar a₀, aₙ e bₙ usando as fórmulas padrões:
com
Passo 2
Note que f(x)=x é função ímpar (f(-x)=-f(x)). Pela paridade:
- a₀ envolve ∫_{-π}^{π} x dx, que é zero pois integrando função ímpar em intervalo simétrico.
- aₙ envolve ∫_{-π}^{π} x cos(nx) dx; x é ímpar, cos(nx) é par, produto é ímpar, então aₙ=0.
Passo 3
Agora bₙ=\tfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin(nx),dx. Aqui x é ímpar e sen(nx) é ímpar, portanto o produto é par. Podemos escrever:
Passo 4
Para calcular I=∫₀^π x sen(nx) dx, use integração por partes escolhendo:
u=x \implies du=dx,
dv=sen(nx)dx \implies v=-\frac{\cos(nx)}{n}.
dv=sen(nx)dx \implies v=-\frac{\cos(nx)}{n}.
Logo:
Passo 5
Continue avaliando:
Na primeira parcela:
Na segunda parcela:
Portanto
Passo 6
Substituindo em bₙ:
Assim todos os coeficientes estão achados.
Passo 7
Juntando tudo, a série de Fourier fica: