A série de Fourier de uma função f(x) em um intervalo simétrico -L é fornecida por:
f(x)=a02+sumn=1^infty[an cos (n piL x)+bn sen(n piL x)]
onde a0=1L integral-L^L f(x) d x , an=1L integral-L^L f(x) cos (n piL x) d x e bn=1L integral-L^L f(x) sen(n piL x) d x obter os coeficientes da série de Fourier para as funções fornecidas abaixo:
f(x)=x para -pi

Passo 1

Temos a função f(x)=x definida em -π<x<π e queremos montar sua série de Fourier, ou seja, encontrar a₀, aₙ e bₙ usando as fórmulas padrões:
f(x)=a02+sumn=1^inftyl[ancos(nx)+bnsin(nx)r]
com
a0=1piintegral-pi^pif(x),dx, an=1piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx, bn=1piintegral-pi^pif(x)sin(nx),dx

Passo 2

Note que f(x)=x é função ímpar (f(-x)=-f(x)). Pela paridade:
  • a₀ envolve ∫_{-π}^{π} x dx, que é zero pois integrando função ímpar em intervalo simétrico.
  • aₙ envolve ∫_{-π}^{π} x cos(nx) dx; x é ímpar, cos(nx) é par, produto é ímpar, então aₙ=0.

Passo 3

Agora bₙ=\tfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin(nx),dx. Aqui x é ímpar e sen(nx) é ímpar, portanto o produto é par. Podemos escrever:
bn=2piintegral0^pixsin(nx),dx

Passo 4

Para calcular I=∫₀^π x sen(nx) dx, use integração por partes escolhendo:
u=x \implies du=dx,
dv=sen(nx)dx \implies v=-\frac{\cos(nx)}{n}.
Logo:
I=uv|0^pi-integral0^piv,du=-xcos(nx)n|0^pi+1nintegral0^picos(nx)dx

Passo 5

Continue avaliando:
Na primeira parcela:
-picos(npi)n+0=-pi(-1)^nn
Na segunda parcela:
1nintegral0^picos(nx)dx=1ncdotsin(nx)n|0^pi=0
Portanto
I=-pi(-1)^nn=pi(-1)^n+1n

Passo 6

Substituindo em bₙ:
bn=2pi,I=2picdotpi(-1)^n+1n=2(-1)^n+1n
Assim todos os coeficientes estão achados.

Passo 7

Juntando tudo, a série de Fourier fica:
f(x)=x=sumn=1^inftybnsin(nx)=2sumn=1^infty(-1)^n+1nsin(nx)

Resposta

a0=0, an=0, bn=dfrac2(-1)^n+1n Portanto
x=2sumn=1^infty(-1)^n+1nsin(nx)

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