Resolva a seguinte equação de Bernoulli:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral
. Informação relevante extraída do enunciado:
- A incógnita é a função
. - A equação envolve potências de
no coeficiente, então teremos que tomar cuidado com (a equação original está escrita com fator , logo a transformações que dividem por só valem para ). - Não foi dado condições iniciais; portanto precisamos obter a solução geral com constante arbitrária.
- Note que a solução identicamente nula
pode ser uma solução particular (vamos comentar sobre isso depois na resolução).
Passo 2
Primeiro passo técnico: colocar a equação na forma padrão para trabalhar com técnicas de transformação. Dividimos ambos os lados por
(válido para
):
Aqui já temos uma equação do tipo "derivada + função linear em
= função
". Guardamos essa forma; agora identificamos os coeficientes.
Passo 3
Identificamos os termos necessários para a técnica de transformação:
A ideia (explicando a técnica): quando aparece
com
multiplicando a função à direita, uma substituição do tipo
transforma a equação numa equação linear em
. Aqui
, então escolhemos
Vou mostrar passo a passo por que isso funciona.
Passo 4
Calculamos
em termos de
. Derivando
obtemos
Agora multiplicamos a equação da Passo 2 por
(isso é conveniente pois aparece
que é exatamente
):
Partimos de
Partimos de
multiplicando por
obtemos
No lado esquerdo o primeiro termo é
e o segundo é
. Substituindo
chega-se à equação linear
Passo 5
Agora resolvemos a equação linear para
:
Calculamos o fator integrante
:
Para simplificar, trabalhamos com
(considere
e sinais absorvidos na constante). Multiplicando a equação por
obtemos
O lado esquerdo é exatamente a derivada de
, então
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Assim
Passo 7
Voltamos à variável original
. Lembrando
, temos
Isolando
,
Podemos reescrever de outras formas equivalentes; por exemplo multiplicando numerador e denominador por
obtemos
que é algebraicamente equivalente à forma acima (constante
é arbitrária).
Passo 8
Observações finais e domínio:
- A fórmula obtida pressupõe
e (pois usamos ). A solução identicamente nula também satisfaz a equação original (substituindo obtemos e , consistente), então deve ser considerada como solução particular à parte. - A solução geral dada por
está definida para os pontos onde o parêntese não se anula e
. A constante
ajusta as diferentes curvas da família de soluções.