Resolva a seguinte equação de Bernoulli:
x^{2}\left(\frac{d y}{d x}\right)-2 x y=3 y^{4}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}\left(\frac{d y}{d x}\right)-2 x y=3 y^{4}
e pede a solução geral y(x). Informação relevante extraída do enunciado:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação envolve potências de x no coeficiente, então teremos que tomar cuidado com x=0 (a equação original está escrita com fator x^{2}, logo a transformações que dividem por x só valem para x\neq0).
  • Não foi dado condições iniciais; portanto precisamos obter a solução geral com constante arbitrária.
  • Note que a solução identicamente nula y\equiv0 pode ser uma solução particular (vamos comentar sobre isso depois na resolução).

Passo 2

Primeiro passo técnico: colocar a equação na forma padrão para trabalhar com técnicas de transformação. Dividimos ambos os lados por x^{2} (válido para x\neq0):
\frac{d y}{d x}-\frac{2}{x}y=\frac{3}{x^{2}}y^{4}.
Aqui já temos uma equação do tipo "derivada + função linear em y = função \times y^{n}". Guardamos essa forma; agora identificamos os coeficientes.

Passo 3

Identificamos os termos necessários para a técnica de transformação:
\text{coeficiente linear }P(x)=-\frac{2}{x},\qquad \text{coeficiente não-linear }Q(x)=\frac{3}{x^{2}},\qquad n=4.ã
A ideia (explicando a técnica): quando aparece y^{n} com n\neq0,1 multiplicando a função à direita, uma substituição do tipo
u=y^{1-n}
transforma a equação numa equação linear em u. Aqui 1-n=1-4=-3, então escolhemos
u=y^{-3}.
Vou mostrar passo a passo por que isso funciona.

Passo 4

Calculamos du/dx em termos de dy/dx. Derivando u=y^{-3} obtemos
\frac{d u}{d x}=-3y^{-4}\frac{d y}{d x}.
Agora multiplicamos a equação da Passo 2 por -3y^{-4} (isso é conveniente pois aparece -3 y^{-4} dy/dx que é exatamente du/dx):
Partimos de
\frac{d y}{d x}-\frac{2}{x}y=\frac{3}{x^{2}}y^{4},
multiplicando por -3y^{-4} obtemos
-3y^{-4}\frac{d y}{d x} + \frac{6}{x}y^{-3} = -\frac{9}{x^{2}}.
No lado esquerdo o primeiro termo é \frac{d u}{d x} e o segundo é \frac{6}{x}u. Substituindo u=y^{-3} chega-se à equação linear
\frac{d u}{d x}+\frac{6}{x}u=-\frac{9}{x^{2}}.

Passo 5

Agora resolvemos a equação linear para u(x):
\frac{d u}{d x}+\frac{6}{x}u=-\frac{9}{x^{2}}.
Calculamos o fator integrante \mu(x):
\mu(x)=\exp\left(\int \frac{6}{x}\,dx\right)=\exp(6\ln|x|)=|x|^{6}.
Para simplificar, trabalhamos com x^{6} (considere x\neq0 e sinais absorvidos na constante). Multiplicando a equação por x^{6} obtemos
x^{6}\frac{d u}{d x}+6x^{5}u = -9x^{4}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada de x^{6}u, então
\frac{d}{d x}\big(x^{6}u\big) = -9x^{4}.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^{6}u = \int -9x^{4}\,dx = -\frac{9}{5}x^{5} + C,
onde C é a constante de integração. Assim
u = -\frac{9}{5}x^{-1} + C x^{-6}.

Passo 7

Voltamos à variável original y. Lembrando u=y^{-3}, temos
y^{-3} = -\frac{9}{5}x^{-1} + C x^{-6}.
Isolando y,
y(x)=\left(-\frac{9}{5}x^{-1} + C x^{-6}\right)^{-1/3}.
Podemos reescrever de outras formas equivalentes; por exemplo multiplicando numerador e denominador por x^{6} obtemos
y^{3}=\frac{x^{6}}{-\frac{9}{5}x^{5}+C} \quad\Rightarrow\quad y=\left(\frac{x^{6}}{-\frac{9}{5}x^{5}+C}\right)^{1/3},
que é algebraicamente equivalente à forma acima (constante C é arbitrária).

Passo 8

Observações finais e domínio:
  • A fórmula obtida pressupõe x\neq0 e y\neq0 (pois usamos y^{-3}). A solução identicamente nula y\equiv0 também satisfaz a equação original (substituindo y=0 obtemos x^{2}y'=0 e y'=0, consistente), então deve ser considerada como solução particular à parte.
  • A solução geral dada por
y(x)=\left(-\frac{9}{5}x^{-1} + C x^{-6}\right)^{-1/3}
está definida para os pontos onde o parêntese não se anula e x\neq0. A constante C ajusta as diferentes curvas da família de soluções.

Resposta

y(x)=\left(-\frac{9}{5}x^{-1} + C x^{-6}\right)^{-1/3}
y(x)\equiv 0

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