Se a regra de Simpson for utilizada para aproximar o valor da integral definida
I=\int_{x=0}^{1}\left(x^{3}-x^{2}+x+1\right) d x
a aproximação obtida será
(a) \hat{I}=17 / 12.
(b) \hat{I}=16 / 12.
(c) \hat{I}=18 / 12.
(d) \hat{I}=0.
(e) Não sei.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
I = \int_{0}^{1}\bigl(x^{3}-x^{2}+x+1\bigr)\,dx
usando a regra de Simpson. Como o integrando é um polinômio de grau 3, a regra de Simpson com dois subintervalos será exata. Vamos aplicar a fórmula.

Passo 2

Na regra de Simpson com n=2 subintervalos em [0,1] temos
h = \frac{1-0}{2} = \frac{1}{2},
e a aproximação
\hat{I} = \frac{h}{3}\bigl[f(0) + 4\,f(0,5) + f(1)\bigr].

Passo 3

Calculando os valores de f(x)=x^{3}-x^{2}+x+1:
f(0) = 0 - 0 + 0 + 1 = 1, \qquad f(0,5) = \frac{1}{8} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{11}{8}, \qquad f(1) = 1 - 1 + 1 + 1 = 2.
Substituindo em Simpson:
\hat{I} = \frac{\tfrac{1}{2}}{3}\Bigl(1 + 4\cdot\frac{11}{8} + 2\Bigr) = \frac{1}{6}\,\frac{17}{2} = \frac{17}{12}.

Resposta

(a) \hat{I} = \tfrac{17}{12}.

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