(Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 2) Calcule a integral definida de
no intervalo [1,2], utilizando a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo.
A integral é:
[
\int_{1}{2}\left(x{3}-3 x\right) d x=\left[\frac{x^{4}}{4}-\frac{3 x{2}}{2}\right]_{1}{2}=\left(\frac{16}{4}-\frac{12}{2}\right)-\left(\frac{1}{4}-\frac{3}{2}\right)=4-6-\left(\frac{1}{4}-\frac{3}{2}\right)=2
\int_{1}{2}\left(x{3}-3 x\right) d x=\left[\frac{x^{4}}{4}-\frac{3 x{2}}{2}\right]_{1}{2}=\left(\frac{16}{4}-\frac{12}{2}\right)-\left(\frac{1}{4}-\frac{3}{2}\right)=4-6-\left(\frac{1}{4}-\frac{3}{2}\right)=2
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida de f(x)=x³−3x no intervalo [1,2] usando a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos precisar encontrar uma primitiva F(x) de f(x) e depois avaliar F(2)−F(1).
Passo 2
Para achar a primitiva de f(x), integramos cada termo separadamente. Integramos x³ e −3x:
Logo, uma primitiva é
Passo 3
Agora avaliamos F nos limites. Primeiro em x=2:
Depois em x=1:
Passo 4
Pela Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é F(2)−F(1). Assim:
Resposta
−\tfrac{3}{4}