(Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 2) Calcule a integral definida de f(x)=x^3-3 x no intervalo [1,2], utilizando a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo.
A integral é:
[
\int_{1}{2}\left(x{3}-3 x\right) d x=\left[\frac{x^{4}}{4}-\frac{3 x{2}}{2}\right]_{1}{2}=\left(\frac{16}{4}-\frac{12}{2}\right)-\left(\frac{1}{4}-\frac{3}{2}\right)=4-6-\left(\frac{1}{4}-\frac{3}{2}\right)=2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de f(x)=x³−3x no intervalo [1,2] usando a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos precisar encontrar uma primitiva F(x) de f(x) e depois avaliar F(2)−F(1).

Passo 2

Para achar a primitiva de f(x), integramos cada termo separadamente. Integramos x³ e −3x:
integral x³ ,dx = x⁴4, ³
integral (−3x) ,dx = −3 cdot x²2 = −3x²2 ²²
Logo, uma primitiva é
F(x) = x⁴4 − 3x²2 ²

Passo 3

Agora avaliamos F nos limites. Primeiro em x=2:
F(2) = 2⁴4 − 3cdot2²2 = 164 − 122 = 4 − 6 = −2 ²
Depois em x=1:
F(1) = 1⁴4 − 3cdot1²2 = 14 − 32 = 14 − 64 = −54 ²

Passo 4

Pela Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é F(2)−F(1). Assim:
integral1^2(x³−3x),dx = F(2) − F(1) = (−2) − (−tfrac54) = −2 + tfrac54 = −tfrac34 ³

Resposta

−\tfrac{3}{4}

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