(Teorema Fundamental do Cálculo - Aplicações) A equação que descreve a velocidade de um objeto em queda é d vd t=-v10-9.8. Use o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a velocidade do objeto após 5 segundos, dada a condição inicial v(0)=0.
A solução geral é:
v(t)=49(1-e^-0,1 t)
Após 5 segundos, temos:
[
v(5)=49\left(1-e^{-0,1 \times 5}\right) \approx 49(1-0.6065) \approx 49(0.3935) \approx 19.3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Movimento de Queda Livre usando o Teorema Fundamental do Cálculo. A gente tem a equação que descreve a velocidade de um objeto em queda:
dvdt = -v10 - 9.8
E a condição inicial é que no tempo $ t = 0 $, a velocidade $ v(0) = 0 $. Nosso objetivo é encontrar a velocidade do objeto após 5 segundos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Isso significa que a derivada de $ v $ em relação a $ t $ está relacionada linearmente com $ v $ e uma função constante.
A forma geral de uma equação diferencial linear de primeira ordem é:
v
No nosso caso, podemos reorganizar a equação original para se encaixar nessa forma:
t
Aqui, $ P(t) = \frac{1}{10} $ e $ Q(t) = -9.8 $.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos usar o fator integrante, que é uma técnica padrão para resolver equações diferenciais lineares. O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
mu(t)
Substituindo $ P(t) = \frac{1}{10} $:
mu(t) = e^integral P(t) dt

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^t10 cdot dvdt + e^t10 cdot 110v = -9.8 cdot e^t10
Isso simplifica para:
ddt ( e^t10 v ) = -9.8 cdot e^t10

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a $ t $:
t
A integral do lado esquerdo é simplesmente $ e^{\frac{t}{10}} v $, e a integral do lado direito é:
integral ddt ( e^t10 v ) dt = integral -9.8 cdot e^t10 dt
Então, temos:
e^t10 v

Passo 6

Agora, isolamos $ v $:
v
Para encontrar a constante $ C $, usamos a condição inicial $ v(0) = 0 $:
v = -98 + C cdot e^-t10
Portanto, a solução da equação é:
C

Passo 7

Agora, vamos calcular a velocidade após 5 segundos substituindo $ t = 5 $ na equação:
t = 5
Calculando $ e^{-0.5} $:
v(5) = 98 (1 - e^-510) = 98 (1 - e^-0.5)
Então:
e^-0.5

Resposta

Após 5 segundos, a velocidade do objeto é aproximadamente 38,5 m/s.

Exercícios relacionados