(Teorema Fundamental do Cálculo - Aplicações) A equação que descreve a velocidade de um objeto em queda é
. Use o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a velocidade do objeto após 5 segundos, dada a condição inicial
.
A solução geral é:
Após 5 segundos, temos:
[
v(5)=49\left(1-e^{-0,1 \times 5}\right) \approx 49(1-0.6065) \approx 49(0.3935) \approx 19.3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
v(5)=49\left(1-e^{-0,1 \times 5}\right) \approx 49(1-0.6065) \approx 49(0.3935) \approx 19.3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Movimento de Queda Livre usando o Teorema Fundamental do Cálculo. A gente tem a equação que descreve a velocidade de um objeto em queda:
E a condição inicial é que no tempo $ t = 0 $, a velocidade $ v(0) = 0 $. Nosso objetivo é encontrar a velocidade do objeto após 5 segundos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Isso significa que a derivada de $ v $ em relação a $ t $ está relacionada linearmente com $ v $ e uma função constante.
A forma geral de uma equação diferencial linear de primeira ordem é:
No nosso caso, podemos reorganizar a equação original para se encaixar nessa forma:
Aqui, $ P(t) = \frac{1}{10} $ e $ Q(t) = -9.8 $.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos usar o fator integrante, que é uma técnica padrão para resolver equações diferenciais lineares. O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
Substituindo $ P(t) = \frac{1}{10} $:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a $ t $:
A integral do lado esquerdo é simplesmente $ e^{\frac{t}{10}} v $, e a integral do lado direito é:
Então, temos:
Passo 6
Agora, isolamos $ v $:
Para encontrar a constante $ C $, usamos a condição inicial $ v(0) = 0 $:
Portanto, a solução da equação é:
Passo 7
Agora, vamos calcular a velocidade após 5 segundos substituindo $ t = 5 $ na equação:
Calculando $ e^{-0.5} $:
Então:
Resposta
Após 5 segundos, a velocidade do objeto é aproximadamente 38,5 m/s.