A função Gama, denotada por Gamma(p) é definida pela integral:
Gamma(p+1)=integral0^infty e^-x x^p d x
Mostre que a função Gama satisfaz a seguinte propriedade:
Gamma(1)=1 e Gamma(1 / 2)=raizpi.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função Gama, definida por
Gamma(p+1)=integral0^inftye^-xx^p,dx
satisfaz Gamma(1)=1 e Gamma(1/2)=raizpi. Vamos usar conceitos de integração imprópria, substituição de variáveis e a integral gaussiana.

Passo 2

Para Gamma(1) note que basta tomar p=0 na definição:
Gamma(1)=integral0^inftye^-xx^0,dx=integral0^inftye^-x,dx
Essa é uma integral imediata de exponencial, que leva a
Gamma(1)=l[-e^-xr]0^infty=0-(-1)=1

Passo 3

Para Gamma(1/2) usamos p=-1/2, obtendo
Gamma(1/2)=integral0^inftye^-xx^-1/2,dx
Fazemos a substituição x=t^2, então dx=2t,dt e x^-1/2=t^-1. A integral vira
$$
\Gamma(1/2)=\int_0{\infty}e{-t2}t{-1}\cdot2t,dt=2\int_0{\infty}e{-t^2},dt.
Gamma(1/2)=integral0^inftye^-t^2t^-1cdot2t,dt=2integral0^inftye^-t^2,dt é\int_0{\infty}e{-t^2},dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.$$
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integral0^inftye^-t^2,dt=raizpi2

Resposta

\Gamma(1)=1 \quad e \quad \Gamma\bigl(1/2\bigr)=\sqrt{\pi}

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