A função Gama, denotada por
é definida pela integral:
Mostre que a função Gama satisfaz a seguinte propriedade:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função Gama, definida por
satisfaz
Passo 2
Para
note que basta tomar
na definição:
Essa é uma integral imediata de exponencial, que leva a
Passo 3
Para
usamos
, obtendo
Fazemos a substituição
$$
\Gamma(1/2)=\int_0{\infty}e{-t2}t{-1}\cdot2t,dt=2\int_0{\infty}e{-t^2},dt.
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Resposta
\Gamma(1)=1 \quad e \quad \Gamma\bigl(1/2\bigr)=\sqrt{\pi}