Universidade Federal Rural de Pernambuco
Unidade Acadêmica do Cabo de Santo Agostinho Questão Extra Cálculo Diferencial e Integral 2 Professor: Serginei Liberato Data de Entrega: 17/02/2025
Turma 03
Nota:
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Matrícula:
(1.0) (Teorema de Lagrange com duas restrições) Sejam f(x, y, z), g(x, y, z) e h(x, y, z) funções de classe C^1 definidas em um subconjunto U subset R^2. Considere a curva C interseção das superfícies de equações g(x, y, z)=0=h(x, y, z), ambas contidas em U. Mostre que se f(x, y, z) tem um valor extremo em P0=(x0, y0, z0) pertencente a C e o produto vetorial nabla g(P0) times nabla h(P0) é não nulo, então existem números reais lambda e mu tais que
nabla f(P0)=lambda cdot nabla g(P0)+mu cdot nabla h(P0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o Teorema de Lagrange com duas restrições. Temos três funções $ f(x, y, z) $, $ g(x, y, z) $ e $ h(x, y, z) $ que são diferenciáveis. A curva $ C $ é onde as superfícies $ g = 0 $ e $ h = 0 $ se cruzam. Queremos mostrar que, se $ f $ atinge um valor extremo em um ponto $ P_0 $ na curva $ C $ e o produto vetorial dos gradientes de $ g $ e $ h $ em $ P_0 $ não é nulo, então existem números reais $ \lambda $ e $ \mu $ que satisfazem a equação $ \nabla f(P_0) = \lambda \nabla g(P_0) + \mu \nabla h(P_0) $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que $ f $ tem um valor extremo em $ P_0 $. Isso quer dizer que $ f $ atinge um mínimo ou máximo nessa posição na curva $ C $. Para que isso aconteça, a derivada de $ f $ na direção de qualquer curva que passa por $ P_0 $ na superfície $ C $ deve ser zero.

Passo 3

Agora, vamos pensar nas restrições. Como $ P_0 $ está na interseção de $ g = 0 $ e $ h = 0 $, qualquer movimento ao redor de $ P_0 $ precisa manter $ g = 0 $ e $ h = 0 $. Isso significa que as direções permitidas estão no espaço tangente a ambas as superfícies em $ P_0 $.

Passo 4

O gradiente de uma função, como $ \nabla g $ ou $ \nabla h $, aponta na direção de maior aumento da função. Portanto, os vetores $ \nabla g(P_0) $ e $ \nabla h(P_0) $ são normais às superfícies $ g = 0 $ e $ h = 0 $ em $ P_0 $.

Passo 5

Como o produto vetorial $ \nabla g(P_0) \times \nabla h(P_0) $ não é nulo, isso significa que $ \nabla g $ e $ \nabla h $ não são paralelos. Portanto, eles formam uma base para o espaço normal às restrições, ou seja, qualquer vetor normal ao espaço tangente à curva $ C $ pode ser escrito como combinação linear desses gradientes.

Passo 6

Como $ f $ tem um extremo em $ P_0 $ na curva $ C $, o gradiente $ \nabla f(P_0) $ deve ser perpendicular ao espaço tangente à curva $ C $. Isso implica que $ \nabla f(P_0) $ pode ser expressado como uma combinação linear dos gradientes das restrições $ g $ e $ h $.

Passo 7

Portanto, existe escalares $ \lambda $ e $ \mu $ tais que:
lambda
Isso conclui a demonstração usando o Teorema de Lagrange com duas restrições.

Resposta

Assim, mostramos que existem números reais $ \lambda $ e $ \mu $ que satisfazem $ \nabla f(P_0) = \lambda \nabla g(P_0) + \mu \nabla h(P_0) $ quando $ f $ tem um extremo em $ P_0 $ na curva $ C $ e o produto vetorial $ \nabla g(P_0) \times \nabla h(P_0) $ é não nulo.

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