Universidade Federal Rural de Pernambuco
Unidade Acadêmica do Cabo de Santo Agostinho Questão Extra Cálculo Diferencial e Integral 2 Professor: Serginei Liberato Data de Entrega: 17/02/2025
Turma 03
Nota:
Nome:
Matrícula:
(1.0) (Teorema de Lagrange com duas restrições) Sejam
e
funções de classe
definidas em um subconjunto
. Considere a curva
interseção das superfícies de equações
, ambas contidas em
. Mostre que se
tem um valor extremo em
pertencente a
e o produto vetorial
é não nulo, então existem números reais
e
tais que
Unidade Acadêmica do Cabo de Santo Agostinho Questão Extra Cálculo Diferencial e Integral 2 Professor: Serginei Liberato Data de Entrega: 17/02/2025
Turma 03
Nota:
Nome:
Matrícula:
(1.0) (Teorema de Lagrange com duas restrições) Sejam
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o Teorema de Lagrange com duas restrições. Temos três funções $ f(x, y, z) $, $ g(x, y, z) $ e $ h(x, y, z) $ que são diferenciáveis. A curva $ C $ é onde as superfícies $ g = 0 $ e $ h = 0 $ se cruzam. Queremos mostrar que, se $ f $ atinge um valor extremo em um ponto $ P_0 $ na curva $ C $ e o produto vetorial dos gradientes de $ g $ e $ h $ em $ P_0 $ não é nulo, então existem números reais $ \lambda $ e $ \mu $ que satisfazem a equação $ \nabla f(P_0) = \lambda \nabla g(P_0) + \mu \nabla h(P_0) $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que $ f $ tem um valor extremo em $ P_0 $. Isso quer dizer que $ f $ atinge um mínimo ou máximo nessa posição na curva $ C $. Para que isso aconteça, a derivada de $ f $ na direção de qualquer curva que passa por $ P_0 $ na superfície $ C $ deve ser zero.
Passo 3
Agora, vamos pensar nas restrições. Como $ P_0 $ está na interseção de $ g = 0 $ e $ h = 0 $, qualquer movimento ao redor de $ P_0 $ precisa manter $ g = 0 $ e $ h = 0 $. Isso significa que as direções permitidas estão no espaço tangente a ambas as superfícies em $ P_0 $.
Passo 4
O gradiente de uma função, como $ \nabla g $ ou $ \nabla h $, aponta na direção de maior aumento da função. Portanto, os vetores $ \nabla g(P_0) $ e $ \nabla h(P_0) $ são normais às superfícies $ g = 0 $ e $ h = 0 $ em $ P_0 $.
Passo 5
Como o produto vetorial $ \nabla g(P_0) \times \nabla h(P_0) $ não é nulo, isso significa que $ \nabla g $ e $ \nabla h $ não são paralelos. Portanto, eles formam uma base para o espaço normal às restrições, ou seja, qualquer vetor normal ao espaço tangente à curva $ C $ pode ser escrito como combinação linear desses gradientes.
Passo 6
Como $ f $ tem um extremo em $ P_0 $ na curva $ C $, o gradiente $ \nabla f(P_0) $ deve ser perpendicular ao espaço tangente à curva $ C $. Isso implica que $ \nabla f(P_0) $ pode ser expressado como uma combinação linear dos gradientes das restrições $ g $ e $ h $.
Passo 7
Portanto, existe escalares $ \lambda $ e $ \mu $ tais que:
Isso conclui a demonstração usando o Teorema de Lagrange com duas restrições.
Resposta
Assim, mostramos que existem números reais $ \lambda $ e $ \mu $ que satisfazem $ \nabla f(P_0) = \lambda \nabla g(P_0) + \mu \nabla h(P_0) $ quando $ f $ tem um extremo em $ P_0 $ na curva $ C $ e o produto vetorial $ \nabla g(P_0) \times \nabla h(P_0) $ é não nulo.