Observe o limite do termo geral e conclua que as séries abaixo são divergentes:
sumn=1^infty n!2^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente observar o limite do termo geral da série sumn=1^infty n!2^n e concluir se ela diverge ou não. Isso tá ligado ao estudo de séries infinitas e aos critérios de convergência que usamos pra determinar se uma série soma pra um número finito ou não. Para resolver, vamos precisar calcular o limite do termo geral n!2^n quando n tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de um conceito importante: se o limite do termo geral de uma série não for zero, então a série diverge. Ou seja, se limn to infty an neq 0, a série sum an não converge.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite do termo geral n!2^n conforme n cresce. O fatorial n! cresce muito rápido, mais rápido que qualquer exponencial como 2^n.
Vamos ver isso de forma mais formal:
limn to infty n!2^n
À medida que n aumenta, o numerador n! cresce de forma super exponencial, enquanto o denominador 2^n cresce exponencialmente. Isso faz com que o quociente n!2^n tenda ao infinito.

Passo 4

Como o limite do termo geral é infinito:
limn to infty n!2^n = infty
E como esse limite não é zero, segundo o critério que falamos antes, a série sumn=1^infty n!2^n diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty n!2^n é divergente.

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