Observe o limite do termo geral e conclua que as séries abaixo são divergentes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente observar o limite do termo geral da série
e concluir se ela diverge ou não. Isso tá ligado ao estudo de séries infinitas e aos critérios de convergência que usamos pra determinar se uma série soma pra um número finito ou não. Para resolver, vamos precisar calcular o limite do termo geral
quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de um conceito importante: se o limite do termo geral de uma série não for zero, então a série diverge. Ou seja, se
, a série
não converge.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite do termo geral
conforme
cresce. O fatorial
cresce muito rápido, mais rápido que qualquer exponencial como
.
Vamos ver isso de forma mais formal:
À medida que
aumenta, o numerador
cresce de forma super exponencial, enquanto o denominador
cresce exponencialmente. Isso faz com que o quociente
tenda ao infinito.
Passo 4
Como o limite do termo geral é infinito:
E como esse limite não é zero, segundo o critério que falamos antes, a série
diverge.
Resposta
A série
é divergente.