Exercício 2)

Determine os extremos da seguinte função: z=(x-1)^{2}-2 y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos da função
z = (x-1)^{2} - 2\,y^{2}
ou seja, achar pontos críticos via derivadas parciais e depois usar o teste de segunda derivada (Hessiana) para classificar cada ponto.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais e iguale a zero:
\frac{\partial z}{\partial x} = 2(x-1),\quad \frac{\partial z}{\partial y} = -4y.
Daí vem o sistema
2(x-1)=0,\quad -4y=0
cuja solução é
x=1,\quad y=0.

Passo 3

Agora, compute as segundas derivadas e forme o determinante da Hessiana:
f_{xx} = 2,\quad f_{yy} = -4,\quad f_{xy}=0.
O determinante da Hessiana no ponto crítico é
D = f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^{2} = 2 \cdot (-4) - 0^{2} = -8 < 0.

Passo 4

Como D<0, o ponto (1,0) é um ponto de sela. Logo, não há nem mínimo local nem máximo local, apenas esse ponto crítico de sela.

Resposta

A única solução do sistema \nabla z=0 é (1,0), que é um ponto de sela (não há extremos locais).

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