Exercício 9)

Determine os pontos e os valores máximo e mínimo da função f(x, y)= \left(2 x-x^{2}\right)\left(2 y-y^{2}\right), na região do plano x y dada por 0 \leq y \leq 2\left(2 x-x^{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y) = \bigl(2x - x^2\bigr)\,\bigl(2y - y^2\bigr)
no domínio D definido por
0 \le y \le 2\bigl(2x - x^2\bigr).
Precisamos achar os pontos de máximo e mínimo de f em D. O método será: (i) encontrar pontos críticos no interior de D via derivadas parciais; (ii) examinar as fronteiras de D; (iii) comparar valores para decidir extremos globais.

Passo 2

Primeiro identifiquemos o intervalo de x. A condição 2x - x^2 \ge 0 força
x(2 - x)\ge0 \quad\Longrightarrow\quad 0 \le x \le 2.
Logo
D = \bigl\{(x,y)\mid x\in[0,2],\;y\in[0,\,2(2x - x^2)]\bigr\}.

Passo 3

No interior de D (i.e.\ x\in(0,2), y\in(0,2(2x-x^2))) calculamos as derivadas
f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = (2 - 2x)\,(2y - y^2) =2(1-x)\,B(y),
f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = (2x - x^2)\,(2 - 2y) =2A(x)\,(1-y),
onde A(x)=2x-x^2 e B(y)=2y-y^2.

Passo 4

Zerando f_x e f_y no interior só há solução comum em
1-x = 0 \quad\text{e}\quad 1-y =0 \;\Longrightarrow\; (x,y) = (1,1).
Esse ponto está em D. Seu valor é
f(1,1) = (2-1)\,(2-1) = 1.
Como A e B são quadráticas côncavas com vértices em x=1 e y=1, (1,1) é um máximo local (e de fato global, como veremos).

Passo 5

Agora as fronteiras de D:
(a) Fronteira y=0, x\in[0,2].
f(x,0) = A(x)\cdot0 = 0.
(b) Fronteira y=2(2x - x^2). Defina A=A(x)=2x-x^2. Então y=2A e
B(y)=2y - y^2 = 2(2A) - (2A)^2 = 4A - 4A^2 = 4A(1-A).
Dessa forma, sobre essa curva
f(x,2A) = A \cdot 4A(1-A) = 4A^2(1-A),
com A\in[0,1]. Seja
g(A) = 4A^2(1-A).
Calculamos
g'(A) = 4\bigl(2A(1-A) - A^2\bigr) =4A(2-3A),
que anula em A=0 (extremo na borda) e em A=\tfrac{2}{3}. Em A=\tfrac{2}{3}
g\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr) =4\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^2\Bigl(1-\tfrac{2}{3}\Bigr) =4\cdot\tfrac{4}{9}\cdot\tfrac{1}{3} =\tfrac{16}{27}.
Os pontos correspondentes sacam de 2x - x^2 = \tfrac{2}{3}, ou seja
x = 1 \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \quad y = 2A = \frac{4}{3}.
Nestes, f=16/27.

Passo 6

Comparando os valores obtidos:
– Na fronteira y=0, f=0.
– Na fronteira superior, máximo local f=16/27 em \bigl(1\pm\tfrac1{\sqrt3},\,\tfrac{4}{3}\bigr).
– No interior, f(1,1)=1.
Logo o maior valor de f em D é 1 em (1,1). O menor valor é 0, atingido sempre que y=0 e x\in[0,2] (inclusive nos pontos (0,0) e (2,0)).

Resposta

Máximo global: f_{\max}=1 em (x,y)=(1,1).
Mínimo global: f_{\min}=0 em toda a reta de pontos \{(x,0)\mid 0\le x\le2\}.

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