Exercício 9)
Determine os pontos e os valores máximo e mínimo da função
, na região do plano
dada por
.
Passo 1
O enunciado dá a função
no domínio
definido por
Precisamos achar os pontos de máximo e mínimo de
em
. O método será: (i) encontrar pontos críticos no interior de
via derivadas parciais; (ii) examinar as fronteiras de
; (iii) comparar valores para decidir extremos globais.
Passo 2
Primeiro identifiquemos o intervalo de
. A condição
força
Logo
Passo 3
No interior de
(i.e.\
,
) calculamos as derivadas
onde
e
.
Passo 4
Zerando
e
no interior só há solução comum em
Esse ponto está em
. Seu valor é
Como
e
são quadráticas côncavas com vértices em
e
,
é um máximo local (e de fato global, como veremos).
Passo 5
Agora as fronteiras de
:
(a) Fronteira
,
.
(b) Fronteira
. Defina
. Então
e
Dessa forma, sobre essa curva
com
. Seja
Calculamos
que anula em
(extremo na borda) e em
. Em
Os pontos correspondentes sacam de
, ou seja
Nestes,
.
Passo 6
Comparando os valores obtidos:
– Na fronteira ,
.
– Na fronteira superior, máximo local em
.
– No interior, .
– Na fronteira
– Na fronteira superior, máximo local
– No interior,
Logo o maior valor de
em
é
em
. O menor valor é
, atingido sempre que
e
(inclusive nos pontos
e
).
Resposta
Máximo global:
em
.
Mínimo global: em toda a reta de pontos
.
Mínimo global: