Seja \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s). Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções: f(t)=\left\{\begin{array}{ll}t, & 0 \leq t<1 \\\\ 1, & t \geq 1\end{array}\right.;
Passo 1
O enunciado pede para determinar a transformada de Laplace da função definida por partes
Informações relevantes dadas: \;f(t) está definida para t\ge0 e muda de expressão em t=1.
A tarefa é calcular \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s), ou seja, encontrar
F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
e indicar para quais valores de s a integral converge.]
Passo 2
Escolha do método: vou usar a definição da transformada de Laplace e dividir a integral no ponto de mudança t=1. Este método é direto e básico: aplicamos
Justificativa rápida: a função é dada por duas expressões simples em dois intervalos, então é natural separar a integral em duas partes; isso evita a necessidade de trabalhar com funções degrau e teoremas de deslocamento, e usa só integrais elementares.
e depois terei F(s)=I_1+I_2. Antes de calcular, lembro que a transformada exige s tal que as integrais improprias existam; veremos a condição de convergência ao final (anticipando: precisa de \;s>0).
Passo 4
Cálculo de I_1=\int_{0}^{1} t\,e^{-st}\,dt por integração por partes.
Regra: para duas funções u(t) e v'(t),
\int u\,v'\,dt = u v - \int u' v\,dt.
Escolho u=t (então u'=1) e v'=e^{-st} (então v=\int e^{-st}dt= -\dfrac{1}{s}e^{-st}, assumindo s\neq0). Aplicando entre 0 e 1:
Portanto a expressão simplifica bem. Quanto à convergência: usamos que I_2 converge somente se \;s>0 (para que e^{-st} tenda a zero quando t\to\infty), e todas as manipulações são válidas para \;s>0. Assim a transformada existe para \;s>0.
Passo 7
Interpretação rápida (dica para prova): uma alternativa seria escrever f(t) usando a função degrau de Heaviside \;u(t-1), por exemplo
f(t)=t\bigl(1-u(t-1)\bigr) + 1\cdot u(t-1)
e então usar propriedades da transformada (linearidade e teorema do deslocamento). O método por divisão da integral é mais direto quando a função é dada por partes simples.