(Função Gama) A função Gama é definida pela integral imprópria
a) Mostre que
, para
;
b) Mostre que
para
;
c) Seja
. Mostre que
b) Mostre que
c) Seja
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos a função Gama definida por
O que a questão pede é: (a) mostrar a relação de recursão
; (b) provar que
para
; © calcular a transformada de Laplace de
e mostrar que
. Vamos usar integração por partes, indução e substituição em integrais impróprias.
Passo 2
Para a parte (a), escrevemos
e aplicamos a fórmula de integração por partes
. Escolhemos
e
, o que dá
e
. Assim,
O termo de fronteira vale zero (pois
em
), sobrando
.
Passo 3
Para a parte (b), primeiro notamos que
Aplicando recursivamente
obtido na parte (a), temos
Passo 4
Para a parte ©, lembramos que a transformada de Laplace de
é definida por
válida para
e
. Fazemos a substituição
, logo
e
. Os limites vão de 0 a
, e a integral fica
Passo 5
Com isso, concluímos todos os itens pedidos.
Resposta
a)
;
b) para
;
c) , válida para
e
.
b)
c)