(Função Gama) A função Gama é definida pela integral imprópria
Gamma(p)=integral0^infty t^p-1 e^-t d t, para p>0
a) Mostre que Gamma(p+1)=p Gamma(p), para p>0;
b) Mostre que Gamma(n)=(n-1)! para n in N;
c) Seja p>-1. Mostre que
L(t^p)(s)=Gamma(p+1)s^p+1, s>0

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a função Gama definida por
Gamma(p)=integral0^inftyt^p-1e^-t,dt, p>0
O que a questão pede é: (a) mostrar a relação de recursão Gamma(p+1)=p,Gamma(p); (b) provar que Gamma(n)=(n-1)! para ninN; © calcular a transformada de Laplace de t^p e mostrar que L[t^p](s)=Gamma(p+1)/s^p+1. Vamos usar integração por partes, indução e substituição em integrais impróprias.

Passo 2

Para a parte (a), escrevemos
Gamma(p+1)=integral0^inftyt^pe^-t,dt
e aplicamos a fórmula de integração por partes integral u,dv=uv-integral v,du. Escolhemos
u=t^p e dv=e^-tdt, o que dá du=p,t^p-1dt e v=-e^-t. Assim,
Gamma(p+1)=l[-t^p e^-tr]0^infty+pintegral0^inftyt^p-1e^-t,dt
O termo de fronteira vale zero (pois t^p e^-tto0 em tto0^+,infty), sobrando
Gamma(p+1)=p,Gamma(p).

Passo 3

Para a parte (b), primeiro notamos que
Gamma(1)=integral0^inftye^-t,dt=1
Aplicando recursivamente Gamma(n)= (n-1)Gamma(n-1) obtido na parte (a), temos
Gamma(n)=(n-1)(n-2)cdots1,Gamma(1)=(n-1)!

Passo 4

Para a parte ©, lembramos que a transformada de Laplace de t^p é definida por
L[t^p](s)=integral0^inftyt^p e^-st,dt,
válida para p>-1 e s>0. Fazemos a substituição u=st, logo t=u/s e dt=du/s. Os limites vão de 0 a infty, e a integral fica
integral0^inftyl(usr)^p e^-udus=1s^p+1integral0^inftyu^p e^-u,du =Gamma(p+1)s^p+1

Passo 5

Com isso, concluímos todos os itens pedidos.

Resposta

a) Gamma(p+1)=p,Gamma(p);
b) Gamma(n)=(n-1)! para ninN;
c) L[t^p](s)=dfracGamma(p+1)s^p+1, válida para p>-1 e s>0.

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