1.7. (Função Gama) A função gama é definida pela integral imprópria
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre a Função Gama, definida por uma integral, e pede para a gente mostrar que a Transformada de Laplace de $ t^p $ é igual a $ \frac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}} $. Para isso, vamos precisar entender o que é a Função Gama e como calcular a Transformada de Laplace de uma função do tipo $ t^p $.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela transforma uma função no tempo $ t $ para uma função na frequência $ s $. A fórmula da Transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é:
No nosso caso, a função $ f(t) $ é $ t^p $.
Passo 3
Vamos aplicar a Transformada de Laplace na função $ t^p $:
Nosso objetivo é resolver essa integral e mostrar que ela é igual a $ \frac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}} $.
Passo 4
Para resolver a integral, vamos fazer uma substituição. Vamos definir $ u = st $, o que implica que $ t = \frac{u}{s} $ e $ dt = \frac{du}{s} $. Substituindo na integral, temos:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, observamos que a integral $ \int_{0}^{\infty} e^{-u} u^p , du $ é exatamente a definição da Função Gama para $ p+1 $:
Portanto, podemos substituir na expressão anterior:
Resposta
A Transformada de Laplace de $ t^p $ é igual a $ \frac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}} $, ou seja: