sumk=0^infty 2^k / 23^k

Passo 1

O exercício pede para calcular a série infinita sumk=0^infty 2^k/23^k. Isso cai em séries geométricas, então vamos identificar a razão r e usar a fórmula de soma para séries geométricas.

Passo 2

Reescrevendo o termo geral, temos
2^k/23^k = (raiz2)^k3^k = l(raiz23r)^k

Passo 3

Como l|raiz23r|<1, a série converge e sua soma é dada por
sumk=0^infty r^k = 11 - r,
onde r=raiz23.

Passo 4

Substituindo, obtemos
sumk=0^infty l(raiz23r)^k = 11 - raiz23 = 33 - raiz2

Passo 5

Para deixar tudo mais bonito, racionalizamos o denominador:
33 - raiz2 cdot 3 + raiz23 + raiz2 = 9 + 3raiz29 - 2 = 9 + 3raiz27

Resposta

9 + 3raiz27

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