A função Gamma é definida pela função imprópria
Gamma(p)=integral0^infty t^p-1 e^-t d t, p>0
Verifique que Gamma(p+1)=p Gamma(p), para p>0.

Passo 1

O enunciado define a função Gamma por
Gamma(p)=integral0^inftyt^p-1e^-t,dt, p>0
e pede para verificar a relação Gamma(p+1)=p,Gamma(p). Vamos usar técnica de integração por partes.

Passo 2

Escrevemos Gamma(p+1) como
Gamma(p+1)=integral0^inftyt^p e^-t,dt
para relacionar esse integral com Gamma(p)=integral0^inftyt^p-1e^-t,dt.

Passo 3

Aplicamos integração por partes em
integral0^inftyt^p e^-t,dt
(escolhendo u=t^p e dv=e^-tdt). Então
du=p,t^p-1dt, v=-e^-t,
e usamos integral u,dv =u v - integral v,du.

Passo 4

Calculamos o termo de contorno:
uv|0^infty=igl(-t^p e^-tr)|0^infty =limttoinfty(-t^p e^-t) - (-0^p e^0) =0-0=0 
pois t^p e^-tto0 quando ttoinfty e 0^p=0.

Passo 5

Substituindo na fórmula de partes:
Gamma(p+1)=0-integral0^infty(-e^-t)(p,t^p-1dt) =pintegral0^inftyt^p-1e^-t,dt =p,Gamma(p)

Resposta

Gamma(p+1)=p,Gamma(p)

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