“Uma transformada é uma fórmula que converte ou “transforma” uma função em outra. Transformadas são usadas em aplicações para converter um problema difícil em um problema mais fácil, cuja solução pode ser usada para resolver a dificuldade do problema original A Transformada de Laplace de uma função \mathrm{f}(\mathrm{t})" é denotada por \mathrm{L}\{\mathrm{f}(\mathrm{t})\}. A transformada de Laplace tem o efeito de transformar f(t) em função de s.” Na Teoria das equações diferenciais, se f é uma função, então a transformada de Laplace L de \mathrm{f}(\mathrm{x}) é definida por L\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t) d t para todo número real s para o qual a integral imprópria converge.
Mostre que \mathrm{L}\{\cos (\mathrm{t})\}=\frac{s}{s^{2}+1}, s>0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de \cos(t). As informações dadas são:
  • A definição da transformada de Laplace: L\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt.
  • A função a transformar é \cos(t).
  • Deve ser mostrado que L\{\cos(t)\}=\dfrac{s}{s^{2}+1} para s>0.
O que precisamos então é avaliar a integral imprópria
I(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(t)\,dt
e verificar para quais s essa integral converge, chegando à forma desejada.

Passo 2

Antes de calcular, verificar convergência: mostrar por que a integral converge para s>0.
Para todo t\ge0 vale |\cos(t)|\le1. Assim
\left|e^{-s t}\cos(t)\right|\le e^{-s t}.
Como \displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt=\frac{1}{s} é finita quando s>0, pelo critério da comparação a integral \displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(t)\,dt converge absolutamente para s>0. Portanto faz sentido calcular I(s) para s>0.

Passo 3

Apresentar a ferramenta que usarei: integração por partes. A fórmula é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e v são funções de t, du é a diferencial de u e v é uma primitiva de dv. Vou aplicar essa fórmula duas vezes (uma para obter uma relação com outra integral e a segunda para fechar o sistema).

Passo 4

Definir a integral que vamos calcular explicitamente:
I(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(t)\,dt.
Escolho, para a primeira integração por partes,
u=\cos(t),\qquad dv=e^{-s t}\,dt.
Então
du=-\sin(t)\,dt,\qquad v=\int e^{-s t}\,dt=-\frac{1}{s}e^{-s t}.
Aplicando integração por partes:

Passo 5

Calcular I(s) usando os termos acima. Pela fórmula,
I(s)=\left.uv\right|_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty} v\,du.
Substituindo u, v e du,
I(s)=\left.-\frac{1}{s}e^{-s t}\cos(t)\right|_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\left(-\frac{1}{s}e^{-s t}\right)\left(-\sin(t)\right)\,dt.

Passo 6

Avaliar o termo de fronteira e simplificar a integral restante.
O termo de fronteira: para s>0,
\lim_{t\to\infty} e^{-s t}\cos(t)=0
porque |e^{-s t}\cos(t)|\le e^{-s t}\to0. Em t=0 temos -\dfrac{1}{s}e^{0}\cos(0)=-\dfrac{1}{s}. Portanto
\left.-\frac{1}{s}e^{-s t}\cos(t)\right|_{0}^{\infty}=0-\left(-\frac{1}{s}\right)=\frac{1}{s}.
A integral restante é
-\int_{0}^{\infty}\left(-\frac{1}{s}e^{-s t}\right)\left(-\sin(t)\right)\,dt = -\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\sin(t)\,dt.
Assim obtemos a relação
I(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s}J(s),
onde eu defini
J(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\sin(t)\,dt.

Passo 7

Calcular J(s) por integração por partes de forma semelhante. Tome
u=\sin(t),\qquad dv=e^{-s t}\,dt.
Então
du=\cos(t)\,dt,\qquad v=-\frac{1}{s}e^{-s t}.
Pela fórmula,
J(s)=\left.uv\right|_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty} v\,du.
Substituindo,
J(s)=\left.-\frac{1}{s}e^{-s t}\sin(t)\right|_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\left(-\frac{1}{s}e^{-s t}\right)\cos(t)\,dt.

Passo 8

Avaliar o termo de fronteira de J(s) e simplificar. Como \sin(0)=0 e \lim_{t\to\infty} e^{-s t}\sin(t)=0 (mesma razão do caso anterior), o termo de fronteira é zero. Logo
J(s)=\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(t)\,dt=\frac{1}{s}I(s).

Passo 9

Agora substituímos J(s)=\dfrac{1}{s}I(s) na relação obtida para I(s):
I(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s}J(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}I(s).
Isolando I(s),
I(s)\left(1+\frac{1}{s^{2}}\right)=\frac{1}{s}.
Portanto
I(s)=\frac{1/s}{1+1/s^{2}}=\frac{1/s}{\dfrac{s^{2}+1}{s^{2}}}=\frac{s}{s^{2}+1}.

Passo 10

Concluir que a transformada de Laplace calculada é
L\{\cos(t)\}=I(s)=\frac{s}{s^{2}+1},
válido para s>0 (domínio onde a integral converge absolutamente).

Resposta

\dfrac{s}{s^{2}+1},\\ s>0

Exercícios relacionados