(Queståo 01) - Considere uma bomba centrifuga que apresenta escoamento com entrada radial e que possul as seguintes caracteristicas técnicas:
o diámetro interno (Di) é 50 mm e o externo (De) é 250 mm , a largura da pá na entrada (b4) è 10 mm e na saida (bs) é 5 mm , o ângulo da pá na entrada \left(\beta_{4}\right) é 20^{\circ} e na saida \left(\beta_{5}\right) é 23^{\circ}, e a bomba trabalha com rotaçăo de 1300 rpm .
Determine o triângulo de velocidades ( \mathrm{Q}_{4} ; \mathrm{C}_{4} ; \mathrm{C}_{\mathrm{mA}} ; \mathrm{C}_{44} ; \mathrm{W}_{4} ; \mathrm{W}_{44} ; \mathrm{U}_{4} ) na entrada.

Passo 1

O enunciado pede o triângulo de velocidades na entrada (conjunto \;Q_{4},\;C_{4},\;C_{mA},\;C_{44},\;W_{4},\;W_{44},\;U_{4}\;) e fornece os seguintes dados numéricos:
\begin{aligned} &\text{diâmetro interno:}\quad D_{i}=50\\ \text{mm},\\\ &\text{diâmetro externo:}\quad D_{e}=250\\ \text{mm},\\\ &\text{largura da pá na entrada:}\quad b_{4}=10\\ \text{mm},\\\ &\text{largura da pá na saída:}\quad b_{5}=5\\ \text{mm},\\\ &\text{ângulo da pá na entrada:}\quad \beta_{4}=20^\circ,\\\ &\text{ângulo da pá na saída:}\quad \beta_{5}=23^\circ,\\\ &\text{velocidade de rotação:}\quad n=1300\\ \text{rpm.} \end{aligned}ââááíâáâáíçã
Observações tiradas do enunciado: a entrada é radial (isto é, velocidade absoluta na entrada não tem componente tangencial: C_{t4}=0).
O que precisamos calcular: \;Q_{4},\;C_{4},\;C_{mA},\;C_{44},\;W_{4},\;W_{44},\;U_{4}.

Passo 2

Calculando o raio médio de entrada e a velocidade periférica U_{4}.
Converter diâmetros em raios:
r_{i}=\frac{D_{i}}{2}=\frac{50\\ \text{mm}}{2}=25\\ \text{mm}=0{,}025\\ \text{m},
r_{e}=\frac{D_{e}}{2}=\frac{250\\ \text{mm}}{2}=125\\ \text{mm}=0{,}125\\ \text{m}.
Adoto o raio médio (média aritmética dos raios):
r_{m}=\frac{r_{i}+r_{e}}{2}=\frac{0{,}025+0{,}125}{2}=0{,}075\\ \text{m}.
Converter rotação para frequência e angular:
n_{\text{(s)}}=\frac{1300}{60}=21{,}666\ldots\\ \text{s}^{-1},
\omega=2\pi n_{\text{(s)}}.
Velocidade periférica (na borda média):
U_{4}=\omega r_{m}=2\pi n_{\text{(s)}} r_{m}.
Agora calculamos numericamente:
U_{4}=2\pi\cdot 21{,}666\ldots\cdot 0{,}075=3{,}25\pi\approx 10{,}210\\ \text{m/s}.

Passo 3

Relação entre \beta_{4}, U_{4} e a componente meridional (radial) C_{m} quando a entrada é radial.
Explicação didática: no triângulo de velocidades, a velocidade absoluta \vec{C} tem componentes tangencial C_{t} e meridional C_{m}. Como a entrada é radial temos C_{t4}=0 e C_{4}=C_{m}. A velocidade relativa \vec{W} é \vec{W}=\vec{C}-\vec{U}. O ângulo \beta_{4} é o ângulo entre \vec{W} e a direção tangencial; geometricamente vale
\tan\beta_{4}=\frac{W_{m}}{|W_{t}|}=\frac{C_{m}}{U_{4}},
porque W_{m}=C_{m} e W_{t}=C_{t}-U_{4}=-U_{4}.
Logo:
C_{m}=U_{4}\tan\beta_{4}.
Calculemos numericamente ( \beta_{4}=20^\circ, \tan 20^\circ\approx 0{,}36397):
C_{m}=10{,}210\cdot 0{,}36397\approx 3{,}717\\ \text{m/s}.
Como C_{t4}=0, conclui-se que
C_{4}=C_{m}\approx 3{,}717\\ \text{m/s}.

Passo 4

Cálculo da vazão volumétrica Q_{4} a partir da componente meridional e da área de passagem na entrada.
Explicação didática: para escoamento estacionário e incompressível, a vazão volumétrica é produto da velocidade meridional média pelo área de escoamento que atravessa essa velocidade. A seção efetiva de passagem para escoamento radial na entrada é a área anular média:
A_{4}=2\pi r_{m} b_{4},
onde b_{4} é a largura da pá na entrada. (Isto vem do perímetro 2\pi r_{m} multiplicado pela espessura/altura b_{4}.)
Converter b_{4}:
b_{4}=10\\ \text{mm}=0{,}01\\ \text{m}.
Calcular a área:
A_{4}=2\pi\cdot 0{,}075\cdot 0{,}01=0{,}004712389\\ \text{m}^2\\ (\text{aprox.}).
Vazão:
Q_{4}=C_{m}\,A_{4}\approx 3{,}717\cdot 0{,}004712389\approx 0{,}01752\\ \text{m}^3/\text{s}.

Passo 5

Cálculo da velocidade relativa \vec{W}_{4} e de suas componentes.
Componentes tangencial e meridional da velocidade relativa:
W_{t4}=C_{t4}-U_{4}=0-U_{4}=-U_{4}\quad(\text{direção oposta à rotação}),çãàçã
W_{m4}=C_{m}\approx 3{,}717\\ \text{m/s}.
Magnitude da velocidade relativa:
W_{4}=\sqrt{W_{t4}^{2}+W_{m4}^{2}}=\sqrt{U_{4}^{2}+C_{m}^{2}}.
Calcule numericamente:
W_{4}=\sqrt{(10{,}210)^{2}+(3{,}717)^{2}}\approx 10{,}867\\ \text{m/s}.
Podemos também listar explicitamente W_{t4} (com sinal, indicando direção):
W_{t4}=-U_{4}\approx -10{,}210\\ \text{m/s}
(ou em módulo |W_{t4}|=10{,}210\\ \text{m/s}).

Passo 6

Resumo físico e interpretação rápida (para você lembrar na prova):
  • Entrada radial implica C_{t4}=0, então C_{4}=C_{m}.
  • O ângulo \beta_{4} relaciona C_{m} e U_{4} por \tan\beta_{4}=C_{m}/U_{4}.
  • Com U_{4} obtido da rotação e do raio médio, obtemos C_{m} e daí Q_{4} pela área média A_{4}=2\pi r_{m} b_{4}.
  • A velocidade relativa tem componente tangencial contrária à rotação de módulo U_{4} e componente meridional igual a C_{m}; sua magnitude vem do teorema de Pitágoras.

Resposta

Q_{4}\approx 0{,}01752\\ \mathrm{m^{3}/s}
C_{4}\approx 3{,}717\\ \mathrm{m/s}
C_{mA}=C_{m4}\approx 3{,}717\\ \mathrm{m/s}
C_{44}\;(=\;C_{t4})=0\\ \mathrm{m/s}
W_{4}\approx 10{,}867\\ \mathrm{m/s}
W_{44}\;(=\;W_{t4})\approx -10{,}210\\ \mathrm{m/s}
U_{4}\approx 10{,}210\\ \mathrm{m/s}

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