Verifique se a série converge ou diverge:
sumn=1^infty n^nn!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série sumn=1^infty n^nn! converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas e testes de convergência. Para resolver, vamos precisar usar o teste da razão, que ajuda a determinar o comportamento da série.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o teste da razão. Esse teste nos ajuda a analisar o limite da razão entre termos consecutivos da série. Se o limite for maior que 1, a série diverge; se for menor que 1, converge absolutamente; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar o teste da razão na nossa série. Seja an = n^nn!. Precisamos calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |

Passo 4

Substituindo an+1 e an na expressão, temos:
L = limn to infty (n+1)^n+1(n+1)! cdot n!n^n = limn to infty (n+1)^n+1n^n cdot (n+1) = limn to infty ( n+1n )^n = limn to infty (1 + 1n)^n

Passo 5

Sabemos que:
limn to infty (1 + 1n)^n = e approx 2,718
Então, L = e

Passo 6

Como L = e > 1, pelo teste da razão, a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty n^nn! diverge.

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