Função de Heaviside:
Calcule a transformada de Laplace \mathcal{L}{f(t)} da função:
f(t)= \begin{cases}0, & 0 \leq t<2 \\\ (t-2)^{2}, & t \geq 2\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá uma função f(t) definida por
f(t)= \begin{cases} 0,&0\le t<2,\\\ (t-2)^{2},&t\ge2, \end{cases}
e pede sua transformada de Laplace. O conteúdo é o deslocamento no tempo (função de Heaviside) e o uso da definição da transformada.

Passo 2

Usamos a representação com Heaviside:
f(t)=(t-2)^{2}\,u(t-2).

Passo 3

Pela definição,
\mathcal{L}\{f(t)\} =\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt =\int_{2}^{\infty}(t-2)^{2}e^{-st}\,dt.

Passo 4

Fazemos a troca de variável \tau=t-2. Assim t=\tau+2, e quando t vai de 2 a \infty, \tau vai de 0 a \infty. Então
\int_{2}^{\infty}(t-2)^{2}e^{-st}\,dt =\int_{0}^{\infty}\tau^{2}e^{-s(\tau+2)}\,d\tau =e^{-2s}\int_{0}^{\infty}\tau^{2}e^{-s\tau}\,d\tau.

Passo 5

Usamos a fórmula
\int_{0}^{\infty}\tau^{n}e^{-s\tau}\,d\tau=\frac{n!}{s^{n+1}},
para n=2, o que dá
\int_{0}^{\infty}\tau^{2}e^{-s\tau}\,d\tau=\frac{2!}{s^{3}}=\frac{2}{s^{3}}.
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\mathcal{L}\{f(t)\}=e^{-2s}\,\frac{2}{s^{3}}.

Resposta

\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{2e^{-2s}}{s^{3}}.

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