Utilize a transformada de Laplace para resolver o PVI:
y^{\prime \prime}+y=\operatorname{sen}(2 \mathrm{t}), com y(0)=2 e y^{\prime}(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva o problema de valor inicial
y'' + y = \operatorname{sen}(2t),\quad y(0)=2,\;y'(0)=1
usando transformada de Laplace. Vamos denotar
Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.

Passo 2

Aplicando transformada de Laplace em ambos os lados e lembrando que
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),\quad \mathcal{L}\{y\}=Y(s),\quad \mathcal{L}\{\operatorname{sen}(2t)\}=\frac{2}{s^2+4},
temos
s^2Y(s)-2s-1 \;+\; Y(s) \;=\;\frac{2}{s^2+4}.
Agrupando em Y(s):
(s^2+1)\,Y(s)=2s+1+\frac{2}{s^2+4}.

Passo 3

Isolando Y(s):
Y(s)=\frac{2s+1}{s^2+1} \;+\;\frac{2}{(s^2+1)(s^2+4)}.
Para o segundo termo fazemos frações parciais:
\frac{2}{(s^2+1)(s^2+4)}=\frac{A}{s^2+1}+\frac{B}{s^2+4},
de onde
2 = A(s^2+4)+B(s^2+1)=(A+B)s^2+(4A+B).
Igualando coeficientes:
A+B=0,\quad 4A+B=2 \quad\Longrightarrow\quad A=\frac{2}{3},\;B=-\frac{2}{3}.
Logo
Y(s)=\frac{2s+1}{s^2+1}+\frac{2/3}{s^2+1}-\frac{2/3}{s^2+4}.

Passo 4

Agora invertendo termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{2s}{s^2+1}\Big\}=2\cos t, \quad \mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{1}{s^2+1}\Big\}=\sin t,
\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{2/3}{s^2+1}\Big\}=\frac{2}{3}\sin t, \quad \mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{2/3}{s^2+4}\Big\}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\sin(2t)=\frac{1}{3}\sin(2t).
Portanto
y(t)=2\cos t+\sin t+\frac{2}{3}\sin t-\frac{1}{3}\sin(2t).

Passo 5

Juntando os termos de \sin t:
y(t)=2\cos t+\frac{5}{3}\sin t-\frac{1}{3}\sin(2t).

Resposta

y(t)=2\cos t+\frac{5}{3}\sin t-\frac{1}{3}\sin(2t).

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