( 2,0 pontos) Resolva o PVI:
, com
.
Passo 1
O enunciado pede resolver o PVI
com condições iniciais
e
. Aqui
é a função degrau unitário que salta em
. Como o termo de forçamento muda em
, vamos resolver em duas etapas, antes e depois desse instante, garantindo continuidade de
e
.
Passo 2
Para
temos
, de modo que a equação vira
A solução geral é soma da homogênea e de uma particular. A homogênea é
e uma particular constante pode ser tomada como
. Logo
Usando
e
:
Portanto, para
Passo 3
No instante
precisamos das condições de continuidade. Calculamos o limite à esquerda:
Esses valores serão as condições iniciais para a segunda etapa.
Passo 4
Para
temos
, logo a equação fica homogênea:
A solução geral é
Impondo
e
:
Portanto, para
Resposta
Para o PVI dado a solução é