( 2,0 pontos) Resolva o PVI: y^{\prime \prime}+y=1-u_{3 \pi}(t), com y(0)=0, y^{\prime}(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede resolver o PVI
y'' + y = 1 - u_{3\pi}(t),
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1. Aqui u_{3\pi}(t) é a função degrau unitário que salta em t=3\pi. Como o termo de forçamento muda em t=3\pi, vamos resolver em duas etapas, antes e depois desse instante, garantindo continuidade de y e y'.

Passo 2

Para 0 \le t < 3\pi temos u_{3\pi}(t)=0, de modo que a equação vira
y'' + y = 1.
A solução geral é soma da homogênea e de uma particular. A homogênea é
y_h(t)=A\cos t + B\sin t,
e uma particular constante pode ser tomada como y_p(t)=1. Logo
y(t)=A\cos t + B\sin t + 1.
Usando y(0)=0 e y'(0)=1:
y(0)=A + 1 = 0 \implies A = -1,
y'(t)= -A\sin t + B\cos t \implies y'(0)=B = 1.
Portanto, para 0 \le t < 3\pi
y(t)= -\cos t + \sin t + 1.

Passo 3

No instante t=3\pi precisamos das condições de continuidade. Calculamos o limite à esquerda:
y(3\pi^-)= -\cos(3\pi) + \sin(3\pi) + 1 = -(-1)+0+1 = 2,
y'(3\pi^-)= \sin(3\pi) + \cos(3\pi) = 0 + (-1) = -1.
Esses valores serão as condições iniciais para a segunda etapa.

Passo 4

Para t > 3\pi temos u_{3\pi}(t)=1, logo a equação fica homogênea:
y'' + y = 0.
A solução geral é
y(t)=C\cos t + D\sin t.
Impondo y(3\pi)=2 e y'(3\pi)=-1:
y(3\pi)=C\cos(3\pi)+D\sin(3\pi)= -C = 2 \implies C = -2,
y'(t)= -C\sin t + D\cos t \implies y'(3\pi)= -D = -1 \implies D = 1.
Portanto, para t \ge 3\pi
y(t)= -2\cos t + \sin t.

Resposta

Para o PVI dado a solução é
y(t)= \begin{cases} -\cos t + \sin t + 1, & 0 \le t < 3\pi,\\\\ -2\cos t + \sin t, & t \ge 3\pi. \end{cases}

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