Calcule as transformadas de Laplace abaixo:
\mathcal{L}{\operatorname{senh}(t)}.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função \operatorname{senh}(t). O conteúdo aqui é Transformada de Laplace, cuja definição é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.
Para resolver, vamos usar a expressão de \operatorname{senh}(t) em termos de exponenciais e a linearidade da transformada.

Passo 2

Lembrando que
\operatorname{senh}(t)=\frac{e^{t}-e^{-t}}{2},
pela linearidade da transformada de Laplace temos
\mathcal{L}\{\operatorname{senh}(t)\} =\frac{1}{2}\,\mathcal{L}\{e^{t}\} -\frac{1}{2}\,\mathcal{L}\{e^{-t}\}.

Passo 3

Pela definição,
\mathcal{L}\{e^{at}\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{at}\,dt =\int_{0}^{\infty}e^{-(s-a)t}\,dt =\frac{1}{s-a}, \quad\Re(s)> \Re(a).
Aplicando com a=1 e a=-1,
\mathcal{L}\{e^{t}\}(s)=\frac{1}{s-1}\quad(s>1), \qquad \mathcal{L}\{e^{-t}\}(s)=\frac{1}{s+1}\quad(s>-1).
Como precisamos de ambas convergindo simultaneamente, adotamos s>1.

Passo 4

Substituindo em \mathcal{L}\{\operatorname{senh}(t)\}:
\mathcal{L}\{\operatorname{senh}(t)\} =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s+1}\Bigr) =\frac{1}{2}\,\frac{(s+1)-(s-1)}{(s-1)(s+1)} =\frac{1}{s^{2}-1}.

Resposta

\mathcal{L}\{\operatorname{senh}(t)\}(s) =\frac{1}{s^{2}-1},\quad s>1.

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