Considere uma esfera isolante, maciça de raio a centrada na origem. Esta esfera não possui uma distribuição de carga uniforme, mas sim uma densidade volumétrica de carga radialmente dependente dada por \rho(r)=\rho_{0} \frac{r}{a}, onde r é a distância ao centro e \rho_{0} é uma constante positiva. Envolvendo esta esfera, existe uma casca esférica condutora concêntrica, com raio interno b e raio externo c (sendo a<b<c ). Esta casca condutora possui uma carga liquida total igual a +Q. Determine:
a) ( 0,5 ponto) A carga total q da esfera isolante.
b) ( 0,5 ponto) A magnitude do campo elétrico E(r) em todas as regiōes do espaço.
Lembre-se: r<a, a<r<b, b<r<c, r>c. Expresse suas respostas em termos de Q e q.
c) ( 1,0 ponto) O potencial elétrico V no centro da esfera ( r=0 ), assumindo que o potencial no infinito é zero (V(\infty)=0). Expresse suas respostas em termos de Q e q.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
Uma esfera isolante, maciça, de raio a centrada na origem.
Densidade volumétrica de carga radialmente dependente: \rho(r)=\rho_{0}\dfrac{r}{a}, com \rho_{0}>0.
Uma casca esférica condutora concêntrica, com raio interno b e raio externo c, com a<b<c.
A casca condutora tem carga líquida total igual a +Q.
Convention: potencial no infinito V(\infty)=0.
O enunciado pede:
a) (0,5 pt) A carga total q da esfera isolante (a carga total dentro do raio a).
b) (0,5 pt) A magnitude do campo elétrico E(r) em todas as regiões do espaço, explicitamente para as faixas r<a, a<r<b, b<r<c e r>c. Expressar respostas em termos de Q e q.
c) (1,0 pt) O potencial elétrico V no centro da esfera (r=0), assumindo V(\infty)=0. Expressar em termos de Q e q.
Observações que usarei depois (não é resolução ainda):
Para integrar cargas em uma esfera com densidade radial uso o volume elementar esférico dV=4\pi r^{2}dr.
A Lei de Gauss será usada para achar o campo elétrico: \displaystyle \oint_{\mathcal{S}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\dfrac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}}.
Propriedade de condutor em equilíbrio eletrostático: campo elétrico no interior do material condutor é zero; isso obriga cargas induzidas nas superfícies interna/externa da casca de modo que o campo no metal se anule.
Passo 2
Calcular a carga total q da esfera isolante (parte a).
Explicação da ideia: a carga total é a integral da densidade volumétrica sobre todo o volume da esfera de raio a. Em coordenadas esféricas o elemento de volume é dV=4\pi r^{2}dr. Assim o elemento de carga é d q=\rho(r)\,dV.
Comentário didático curto: dentro da esfera o campo cresce linearmente com r porque a densidade aumenta com r e a carga encerrada cresce com r^{3}; depois a división por r^{2} dá o fator linear.
Passo 4
Campo para a<r<b (região entre a superfície da esfera isolante e a superfície interna da casca condutora).
Nesta região toda a carga da esfera isolante está contida dentro da superfície gaussiana de raio r. Logo q_{\text{enc}}=q (a casca condutora ainda não aparece porque está fora). Aplicando Gauss para uma superfície esférica de raio r:
Observação: este resultado é igual ao de uma carga pontual q no centro, válido para r maior que a e menor que onde haja outras distribuições.
Passo 5
Campo no interior do material condutor: b<r<c.
Propriedade fundamental: em equilíbrio eletrostático o campo elétrico dentro do material condutor é zero. Portanto
\boxed{E(r)=0\quad (b<r<c).}
Consequência física importante (explicação didática): como E=0 dentro do condutor, a carga total dentro de uma superfície gaussiana localizada dentro do metal deve ser zero. Tomando uma superfície logo dentro do metal, que encierra a esfera isolante (carga q) e a superfície interna da casca, deduz-se que a carga na face interna da casca deve ser -q para anular o campo no metal. Como a casca tem carga líquida +Q, a carga restante na face externa da casca será +Q+q.
Resumindo cargas na casca condutora:
carga na superfície interna (r = b): -q,
carga na superfície externa (r = c): +Q+q.
Passo 6
Campo para r>c (fora de tudo).
Agora uma superfície gaussiana de raio r>c encerra a carga da esfera q e a carga líquida da casca +Q. O total encerrado é q+Q. Pela simetria esférica:
Observação didática: o fato de a carga na superfície externa ter valor Q+q garante que o campo fora da casca seja o mesmo que o de uma carga pontual q+Q no centro.
Passo 7
Resumo compacto do item (b) (todas as regiões juntas, em termos de q e Q).