Considere uma esfera isolante, maciça de raio a centrada na origem. Esta esfera não possui uma distribuição de carga uniforme, mas sim uma densidade volumétrica de carga radialmente dependente dada por \rho(r)=\rho_{0} \frac{r}{a}, onde r é a distância ao centro e \rho_{0} é uma constante positiva. Envolvendo esta esfera, existe uma casca esférica condutora concêntrica, com raio interno b e raio externo c (sendo a<b<c ). Esta casca condutora possui uma carga liquida total igual a +Q. Determine:
a) ( 0,5 ponto) A carga total q da esfera isolante.
b) ( 0,5 ponto) A magnitude do campo elétrico E(r) em todas as regiōes do espaço.
Lembre-se: r<a, a<r<b, b<r<c, r>c. Expresse suas respostas em termos de Q e q.
c) ( 1,0 ponto) O potencial elétrico V no centro da esfera ( r=0 ), assumindo que o potencial no infinito é zero (V(\infty)=0). Expresse suas respostas em termos de Q e q.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Uma esfera isolante, maciça, de raio a centrada na origem.
  • Densidade volumétrica de carga radialmente dependente: \rho(r)=\rho_{0}\dfrac{r}{a}, com \rho_{0}>0.
  • Uma casca esférica condutora concêntrica, com raio interno b e raio externo c, com a<b<c.
  • A casca condutora tem carga líquida total igual a +Q.
  • Convention: potencial no infinito V(\infty)=0.
O enunciado pede:
a) (0,5 pt) A carga total q da esfera isolante (a carga total dentro do raio a).
b) (0,5 pt) A magnitude do campo elétrico E(r) em todas as regiões do espaço, explicitamente para as faixas r<a, a<r<b, b<r<c e r>c. Expressar respostas em termos de Q e q.
c) (1,0 pt) O potencial elétrico V no centro da esfera ( r=0), assumindo V(\infty)=0. Expressar em termos de Q e q.
Observações que usarei depois (não é resolução ainda):
  • Para integrar cargas em uma esfera com densidade radial uso o volume elementar esférico dV=4\pi r^{2}dr.
  • A Lei de Gauss será usada para achar o campo elétrico: \displaystyle \oint_{\mathcal{S}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\dfrac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}}.
  • Propriedade de condutor em equilíbrio eletrostático: campo elétrico no interior do material condutor é zero; isso obriga cargas induzidas nas superfícies interna/externa da casca de modo que o campo no metal se anule.

Passo 2

Calcular a carga total q da esfera isolante (parte a).
Explicação da ideia: a carga total é a integral da densidade volumétrica sobre todo o volume da esfera de raio a. Em coordenadas esféricas o elemento de volume é dV=4\pi r^{2}dr. Assim o elemento de carga é d q=\rho(r)\,dV.
Montando a integral:
q=\int_{V}\rho(r)\,dV=\int_{0}^{a}\rho(r)\,4\pi r^{2}\,dr.
Substituindo \rho(r)=\rho_{0}\dfrac{r}{a}:
q=4\pi\int_{0}^{a}\rho_{0}\dfrac{r}{a}\,r^{2}\,dr =4\pi\dfrac{\rho_{0}}{a}\int_{0}^{a}r^{3}\,dr.
Calcule a integral simples:
\int_{0}^{a}r^{3}\,dr=\left.\dfrac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{a}=\dfrac{a^{4}}{4}.
Portanto
q=4\pi\dfrac{\rho_{0}}{a}\cdot\dfrac{a^{4}}{4}=\pi\rho_{0}a^{3}.
Resultado útil também para substituir \rho_{0} se precisar:
\rho_{0}=\dfrac{q}{\pi a^{3}}.

Passo 3

Encontrar o campo elétrico para r<a (dentro da esfera) usando Gauss e ensinando o procedimento.
Ideia: para r<a constrói-se uma superfície gaussiana esférica de raio r. O campo é radial e simétrico, então por Gauss:
\oint_{\mathcal{S}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\dfrac{q_{\text{enc}}(r)}{\varepsilon_{0}}.
É preciso calcular a carga encerrada até o raio r: q_{\text{enc}}(r)=\int_{0}^{r}\rho(r')4\pi r'^{2}dr'.
Calcule q_{\text{enc}}(r) usando \rho(r')=\rho_{0}\dfrac{r'}{a}:
q_{\text{enc}}(r)=4\pi\dfrac{\rho_{0}}{a}\int_{0}^{r}r'^{3}dr' =4\pi\dfrac{\rho_{0}}{a}\cdot\dfrac{r^{4}}{4}=\pi\rho_{0}\dfrac{r^{4}}{a}.
Usando q=\pi\rho_{0}a^{3} (do Passo 2) podemos escrever q_{\text{enc}}(r) em termos de q:
q_{\text{enc}}(r)=q\,\dfrac{r^{3}}{a^{3}}.
Substituindo em Gauss:
E(r)\,4\pi r^{2}=\dfrac{q\,r^{3}/a^{3}}{\varepsilon_{0}}.
Isolando E(r):
E(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{q\,r^{3}/a^{3}}{r^{2}} =\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{q\,r}{a^{3}}.
Conclusão para r<a:
\boxed{E(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{q\,r}{a^{3}}\quad (r<a).}
Comentário didático curto: dentro da esfera o campo cresce linearmente com r porque a densidade aumenta com r e a carga encerrada cresce com r^{3}; depois a división por r^{2} dá o fator linear.

Passo 4

Campo para a<r<b (região entre a superfície da esfera isolante e a superfície interna da casca condutora).
Nesta região toda a carga da esfera isolante está contida dentro da superfície gaussiana de raio r. Logo q_{\text{enc}}=q (a casca condutora ainda não aparece porque está fora). Aplicando Gauss para uma superfície esférica de raio r:
E(r)\,4\pi r^{2}=\dfrac{q}{\varepsilon_{0}}.
Assim
\boxed{E(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{q}{r^{2}}\quad (a<r<b).}
Observação: este resultado é igual ao de uma carga pontual q no centro, válido para r maior que a e menor que onde haja outras distribuições.

Passo 5

Campo no interior do material condutor: b<r<c.
Propriedade fundamental: em equilíbrio eletrostático o campo elétrico dentro do material condutor é zero. Portanto
\boxed{E(r)=0\quad (b<r<c).}
Consequência física importante (explicação didática): como E=0 dentro do condutor, a carga total dentro de uma superfície gaussiana localizada dentro do metal deve ser zero. Tomando uma superfície logo dentro do metal, que encierra a esfera isolante (carga q) e a superfície interna da casca, deduz-se que a carga na face interna da casca deve ser -q para anular o campo no metal. Como a casca tem carga líquida +Q, a carga restante na face externa da casca será +Q+q.
Resumindo cargas na casca condutora:
  • carga na superfície interna (r = b): -q,
  • carga na superfície externa (r = c): +Q+q.

Passo 6

Campo para r>c (fora de tudo).
Agora uma superfície gaussiana de raio r>c encerra a carga da esfera q e a carga líquida da casca +Q. O total encerrado é q+Q. Pela simetria esférica:
E(r)\,4\pi r^{2}=\dfrac{q+Q}{\varepsilon_{0}}.
Logo
\boxed{E(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{q+Q}{r^{2}}\quad (r>c).}
Observação didática: o fato de a carga na superfície externa ter valor Q+q garante que o campo fora da casca seja o mesmo que o de uma carga pontual q+Q no centro.

Passo 7

Resumo compacto do item (b) (todas as regiões juntas, em termos de q e Q).
Reunindo os resultados obtidos:
\begin{aligned} &\text{Para } r<a:\qquad &&E(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{q\,r}{a^{3}},\\[4pt] &\text{Para } a<r<b:\qquad &&E(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{q}{r^{2}},\\[4pt] &\text{Para } b<r<c:\qquad &&E(r)=0,\\[4pt] &\text{Para } r>c:\qquad &&E(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{q+Q}{r^{2}}. \end{aligned}]

Passo 8

Calcular o potencial V(0) no centro da esfera, assumindo V(\infty)=0 (item c). Vou explicar a ideia passo a passo.
Ideia: o potencial em um ponto é a integral do campo ao longo de uma linha radial do infinito até o ponto:
V(0)-V(\infty)=-\int_{\infty}^{0}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{r}.
Como V(\infty)=0, obtemos
V(0)=-\int_{\infty}^{0}E(r)\,dr=\int_{0}^{\infty}E(r)\,dr,
pois E é radial e positivo no sentido +\hat{r}. Vou quebrar a integral nas regiões em que E(r) tem expressões distintas:
V(0)=\int_{0}^{a}E(r)\,dr+\int_{a}^{b}E(r)\,dr+\int_{b}^{c}E(r)\,dr+\int_{c}^{\infty}E(r)\,dr.
Sabendo que E=0 em (b,c), a terceira integral some. Substituo as expressões de E que já achamos.
  1. Integral de 0 a a, usando E(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{q\,r}{a^{3}}:
\int_{0}^{a}E(r)\,dr=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{q}{a^{3}}\int_{0}^{a}r\,dr =\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{q}{a^{3}}\cdot\dfrac{a^{2}}{2} =\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{q}{2a}.
  1. Integral de a a b, usando E(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{q}{r^{2}}:
\int_{a}^{b}E(r)\,dr=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\int_{a}^{b}\dfrac{dr}{r^{2}} =\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right).
  1. Integral de c a \infty, usando E(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{q+Q}{r^{2}}:
\int_{c}^{\infty}E(r)\,dr=\dfrac{q+Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\int_{c}^{\infty}\dfrac{dr}{r^{2}} =\dfrac{q+Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\dfrac{1}{c}.
Somando as contribuições:
V(0)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left[\dfrac{q}{2a}+q\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right)+\dfrac{q+Q}{c}\right].
Simplificando o termo com q:
\dfrac{q}{2a}+q\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right)=q\left(\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right) =q\left(\dfrac{3}{2a}-\dfrac{1}{b}\right).
Portanto uma forma mais compacta:
\boxed{V(0)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left[q\!\left(\dfrac{3}{2a}-\dfrac{1}{b}\right)+\dfrac{q+Q}{c}\right].}
Outra forma equivalente, separando o termo em Q:
V(0)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left[q\!\left(\dfrac{3}{2a}-\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)+\dfrac{Q}{c}\right].

Resposta

a) q=\pi\rho_{0}a^{3}.
b)
\begin{aligned} &r<a:\quad &&E(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{q\,r}{a^{3}},\\[4pt] &a<r<b:\quad &&E(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{q}{r^{2}},\\[4pt] &b<r<c:\quad &&E(r)=0,\\[4pt] &r>c:\quad &&E(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{q+Q}{r^{2}}. \end{aligned}
c) V(0)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left[q\!\left(\dfrac{3}{2a}-\dfrac{1}{b}\right)+\dfrac{q+Q}{c}\right].]

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