A função horária da velocidade, do movimento unidimensional de uma determinada partícula, é v(t)=3,0 t^2-4,0 t+5,0, na qual v é expressa em m / s e t em s . (2 , 0)
Determine o deslocamento para o intervalo de tempo entre 1,0 e 3,0 s.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a velocidade da partícula é
v(t)=3,0,t^2-4,0,t+5,0(m/s),
e pede o deslocamento entre t1=1,0,s e t2=3,0,s.
Conteúdo: Cinemática unidimensional — deslocamento via integral da velocidade.
O que vamos usar: a ideia de que deslocamento De é a área sob a curva v(t), ou seja
De

Passo 2

Primeiro, bora explicar por que usamos integral: se velocidade é a taxa de variação do espaço ( v=dsdt), integrar v(t) dá a mudança de posição s(t). Então
De

Passo 3

Agora, achamos a antiderivada de v(t) (ou primitiva), isto é, uma função S(t) tal que S'(t)=v(t). Para
v(t)=3t^2-4t+5
integramos termo a termo:
- integral3t^2,dt=3cdott^33=t^3,
- integral(-4t),dt=-4cdott^22=-2t^2,
- integral5,dt=5t.
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S(t)=t^3-2t^2+5t,+C
O C some quando fazemos S(t2)-S(t1).

Passo 4

Aplicamos o teorema fundamental do cálculo:
De
Calculando:
S(3)=3^3-2cdot3^2+5cdot3=27-18+15=24,
S(1)=1^3-2cdot1^2+5cdot1=1-2+5=4

Passo 5

Então o deslocamento é
De

Resposta

O deslocamento da partícula entre 1,0 s e 3,0 s é 20 m.

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