A função indicada y1(x) é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem para encontrar uma segunda solução y2(x).
4 x^2 y^prime prime+y=0 ; y1=x^12 ln x y2=x^12

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
4 x^2y''+y=0
e fornece uma solução conhecida y1(x). O objetivo é, usando redução de ordem, encontrar uma segunda solução y2(x) linearmente independente de y1(x).

Passo 2

Primeiro colocamos a EDO na forma padrão
y''+p(x)y'+q(x)y=0
Dividindo por 4x^2 obtemos
y''+0cdot y'+14x^2y=0,
logo p(x)=0 e q(x)=1/(4x^2). A fórmula de redução de ordem diz que
y2(x)=y1(x)integral e^-integral p(x),dxy1(x)^2,dx = y1(x)integral 1y1(x)^2,dx

Passo 3

Como y1(x)=x^tfrac12ln x, temos
y1(x)^2=x(ln x)^2 Longrightarrow 1y1(x)^2=1x(ln x)^2
Para integrar, use u=ln x, de modo que du=dx/x. Assim
integral 1x(ln x)^2,dx =integral 1u^2,du =-1u+C =-1ln x+C

Passo 4

Substituindo no y2 e desprezando constantes multiplicativas, obtemos
y2(x) =y1(x)l(-1ln xr) =-,x^tfrac12
Como a EDO é linear e homogênea, podemos absorver o sinal negativo em uma constante, ficando
y2(x)=x^tfrac12

Resposta

A segunda solução independente é
y2(x)=x^tfrac12

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