Seja
um primo ímpar. Mostre que
pode ser representado como diferença de dois quadrados, e isso de forma única.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é um primo ímpar, então existem inteiros
tais que
e que essa escrita é única. O conteúdo que vamos usar é a fatoração de diferença de quadrados:
Passo 2
Queremos representar
como
Como
é primo, seus únicos divisores positivos são
e
. Além disso,
é maior que
e ambos são positivos. Logo só há uma possibilidade compatível com isso:
Passo 3
Para encontrar
e
, somamos e subtraímos essas duas equações:
Substituindo
e
, vem
Passo 4
Como
é ímpar,
e
são pares. Assim
e
são inteiros não negativos, garantido que a solução está bem definida em
.
Passo 5
Para ver que não há outra forma de escrever
como diferença de quadrados, note que qualquer outra representação
geraria uma fatoração
. Como os únicos divisores de
são
e
, deve ocorrer
e
, forçando
e
de novo. Logo, a escrita é única.
Resposta
única representação de
como diferença de dois quadrados.