Seja p um primo ímpar. Mostre que p pode ser representado como diferença de dois quadrados, e isso de forma única.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se p é um primo ímpar, então existem inteiros a> b>=0 tais que
p = a^2 - b^2
e que essa escrita é única. O conteúdo que vamos usar é a fatoração de diferença de quadrados:
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Passo 2

Queremos representar p como
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) = p
Como p é primo, seus únicos divisores positivos são 1 e p. Além disso, a+b é maior que a-b e ambos são positivos. Logo só há uma possibilidade compatível com isso:
a - b = 1, a + b = p

Passo 3

Para encontrar a e b, somamos e subtraímos essas duas equações:
a = (a+b)+(a-b)2, b = (a+b)-(a-b)2
Substituindo a+b=p e a-b=1, vem
a = p+12, b = p-12

Passo 4

Como p é ímpar, p+1 e p-1 são pares. Assim p+12 e p-12 são inteiros não negativos, garantido que a solução está bem definida em Z.

Passo 5

Para ver que não há outra forma de escrever p como diferença de quadrados, note que qualquer outra representação p = x^2 - y^2 geraria uma fatoração (x-y)(x+y)=p. Como os únicos divisores de p são 1 e p, deve ocorrer x-y=1 e x+y=p, forçando x=(p+1)/2 e y=(p-1)/2 de novo. Logo, a escrita é única.

Resposta

p ;=;l(tfracp+12r)^2 ;-;l(tfracp-12r)^2,
única representação de p como diferença de dois quadrados.

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