Responda as seguintes perguntas referentes ao grupo :
a) Qual é a ordem do ciclo (1457)?
b) Qual a ordem de (45)o(237)?
c)
c) (lllll1 & 2 & 3 & 4 & 5 3 & 1 & 2 & 5 & 4)
Decomponha cada uma das seguintes permutações num produto de ciclosdisjuntos dois a dois e determine suas ordens e assinaturas.
а) (lllllllll1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 7 & 5 & 8 & 6 & 3 & 4 & 9 & 1 & 2)
b) (llllll1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1)
encontre a ordem de cada um dos elementos de S4
a) (l1 2 3)
b) (ll143)
c) (12) o(34)
Determine todas as permutações de S1 0 que são permutáveis com (12345)o(678910).
Construa uma tábua do grupo alternado A4.
Sejam sigma, varphi in S ciclos disjuntos. Mostre que o(sigma o varphi=m m c(o(sigma), o(varphi)).
Mostre que a assinatura do r-ciclo (a1, a2, ldots, ar) é (-1)^r-1.
Justifique as seguintes identidades:
a) (lll1 & 2 & 2 ldots k)=(12 ldots j) o(j j+1 ldots k)(1<j<k)
b) (122 ldots k)=(1 k) o(12 ldots k-1) k>1
c) (12 ldots k) o(k-1 ldots 21)(1<j<k)
Passo 1
O enunciado 139 pede informações sobre elementos de S8. Vamos usar duas ideias principais da teoria de permutações:
A ordem de um r-ciclo é r.
Se duas permutações são disjuntas, a ordem do produto delas é o mínimo múltiplo comum (mmc) das ordens de cada uma.
Passo 2
Para a parte (a) temos o ciclo (1,4,5,7). É um 4-ciclo, logo, pela regra acima, sua ordem é
4
Passo 3
Na parte (b) o produto é (4,5)circ(2,3,7). Note que os conjuntos 4,5 e 2,3,7 são disjuntos, logo a ordem do produto é
mmc(2,3)=6
Passo 4
Na parte (c) a permutação dada por
1 & 2 & 3 & 4 & 5 2 & 1 & 3 & 4 & 5
envia 1mapsto2, 2mapsto1 e fixa 3,4,5. Em notação de ciclos disjuntos isso é simplesmente
(1,2)
Passo 5
Na parte (d) a permutação
1 & 2 & 3 & 4 & 5 3 & 1 & 2 & 5 & 4
faz 1mapsto3, 3mapsto2, 2mapsto1 e troca 4rightarrow5. Em ciclos disjuntos: