1. Responda as seguintes perguntas referentes ao grupo S8 :
    a) Qual é a ordem do ciclo (1457)?
    b) Qual a ordem de (45)o(237)?
    c) (lllll1 & 2 & 3 & 4 & 5 2 & 1 & 3 & 4 & 5)
    c) (lllll1 & 2 & 3 & 4 & 5 3 & 1 & 2 & 5 & 4)
  2. Decomponha cada uma das seguintes permutações num produto de ciclosdisjuntos dois a dois e determine suas ordens e assinaturas.
    а) (lllllllll1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 7 & 5 & 8 & 6 & 3 & 4 & 9 & 1 & 2)
    b) (llllll1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1)
  3. encontre a ordem de cada um dos elementos de S4
    a) (l1 2 3)
    b) (ll143)
    c) (12) o(34)
  4. Determine todas as permutações de S1 0 que são permutáveis com (12345)o(678910).
  5. Construa uma tábua do grupo alternado A4.
  6. Sejam sigma, varphi in S ciclos disjuntos. Mostre que o(sigma o varphi=m m c(o(sigma), o(varphi)).
  7. Mostre que a assinatura do r-ciclo (a1, a2, ldots, ar) é (-1)^r-1.
  8. Justifique as seguintes identidades:
    a) (lll1 & 2 & 2 ldots k)=(12 ldots j) o(j j+1 ldots k)(1<j<k)
    b) (122 ldots k)=(1 k) o(12 ldots k-1) k>1
    c) (12 ldots k) o(k-1 ldots 21)(1<j<k)

Passo 1

O enunciado 139 pede informações sobre elementos de S8. Vamos usar duas ideias principais da teoria de permutações:
  1. A ordem de um r-ciclo é r.
  2. Se duas permutações são disjuntas, a ordem do produto delas é o mínimo múltiplo comum (mmc) das ordens de cada uma.

Passo 2

Para a parte (a) temos o ciclo (1,4,5,7). É um 4-ciclo, logo, pela regra acima, sua ordem é
4

Passo 3

Na parte (b) o produto é (4,5)circ(2,3,7). Note que os conjuntos 4,5 e 2,3,7 são disjuntos, logo a ordem do produto é
mmc(2,3)=6

Passo 4

Na parte (c) a permutação dada por
1 & 2 & 3 & 4 & 5 2 & 1 & 3 & 4 & 5
envia 1mapsto2, 2mapsto1 e fixa 3,4,5. Em notação de ciclos disjuntos isso é simplesmente
(1,2)

Passo 5

Na parte (d) a permutação
1 & 2 & 3 & 4 & 5 3 & 1 & 2 & 5 & 4
faz 1mapsto3, 3mapsto2, 2mapsto1 e troca 4rightarrow5. Em ciclos disjuntos:
(1,3,2)(4,5)

Resposta

a) 4
b) 6
c) (1,2)
d) (1,3,2)(4,5)

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