A função indicada
é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem para encontrar uma segunda solução
.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que foi dado.
- O enunciado pede: encontrar uma segunda solução
da equação diferencial homogênea de segunda ordem
sabendo que já existe uma solução conhecida
.
- Informações relevantes fornecidas:
- A equação diferencial é linear, homogênea e de ordem 2 com coeficientes constantes.
- Uma solução particular conhecida é
.
Passo 2
Ideia do método de redução de ordem (explicação didática e por que funciona).
- Quando temos uma equação linear homogênea de segunda ordem e conhecemos uma solução não-nula
, é possível buscar a segunda solução na forma
onde
é uma função desconhecida a determinar. A razão é que qualquer combinação linear das duas soluções gera a família geral; conhecendo uma solução, podemos reduzir a ordem da equação para achar a outra.
- Para facilitar os cálculos costuma-se introduzir
e e substituir , , na equação original. Ao fazer isso, por escolha adequada do método (ou simplesmente pela estrutura da equação), obtemos uma equação de ordem inferior para .
Passo 3
Aplicar a forma
ao caso concreto e calcular derivadas (passo a passo, sem pular contas).
- Coloco
- Calculo a primeira derivada usando a regra do produto:
- Calculo a segunda derivada derivando novamente:
Apliquei produto: derivada de
é
, e derivada de
é
. Assim
Passo 4
Substituir
,
,
na equação diferencial e simplificar para obter uma equação para
.
- A equação original é
Substituindo as expressões encontradas:
- Coloco
em evidência (note que nunca é zero, então podemos dividir por ele):
Dentro do parêntese somei os termos semelhantes:
- Portanto a equação reduz-se a
Comentário didático: conseguimos reduzir a equação de segunda ordem (em
) para uma equação de segunda ordem simples em
, que aqui é ainda muito simples: a segunda derivada nula significa que
é uma função afim (polinomial de grau ≤1).
Passo 5
Resolver a equação obtida para
e recuperar
.
- Integro
uma vez:
onde
é constante.
- Integro novamente:
onde
é outra constante.
- Agora retorno à expressão
. Substituindo :
- Observação importante (por que escolho
como segunda solução): o termo com é simplesmente múltiplo da solução conhecida . Portanto não fornece uma nova solução linearmente independente. A parte que realmente gera algo novo é . Assim uma segunda solução linearmente independente é
Passo 6
Verificar independência linear (uma checagem rápida e didática usando o Wronskiano).
- Defino o Wronskiano de
e :
- Substituo
e . Então e, calculado antes, . Assim
- Faço a determinante:
- Como
para todo , o Wronskiano é não-nulo, logo e são linearmente independentes e formam um conjunto de duas soluções linearmente independentes — ou seja, geram a solução geral da equação homogênea.]