A função indicada y_{1}(x) é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem para encontrar uma segunda solução y_{2}(x).
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0 ; \quad y_{1}=e^{2 x}

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que foi dado.
  • O enunciado pede: encontrar uma segunda solução y_{2}(x) da equação diferencial homogênea de segunda ordem
y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4y=0,
sabendo que já existe uma solução conhecida y_{1}(x)=e^{2x}.
  • Informações relevantes fornecidas:
    • A equação diferencial é linear, homogênea e de ordem 2 com coeficientes constantes.
    • Uma solução particular conhecida é y_{1}(x)=e^{2x}.

Passo 2

Ideia do método de redução de ordem (explicação didática e por que funciona).
  • Quando temos uma equação linear homogênea de segunda ordem e conhecemos uma solução não-nula y_{1}(x), é possível buscar a segunda solução na forma
y_{2}(x)=v(x)\,y_{1}(x),
onde v(x) é uma função desconhecida a determinar. A razão é que qualquer combinação linear das duas soluções gera a família geral; conhecendo uma solução, podemos reduzir a ordem da equação para achar a outra.
  • Para facilitar os cálculos costuma-se introduzir v'(x) e v''(x) e substituir y_{2}, y_{2}', y_{2}'' na equação original. Ao fazer isso, por escolha adequada do método (ou simplesmente pela estrutura da equação), obtemos uma equação de ordem inferior para v.

Passo 3

Aplicar a forma y_{2}=v\,y_{1} ao caso concreto e calcular derivadas (passo a passo, sem pular contas).
  • Coloco
y_{2}(x)=v(x)\,e^{2x}.
  • Calculo a primeira derivada usando a regra do produto:
y_{2}'(x)=v'(x)e^{2x}+v(x)\cdot 2e^{2x}=e^{2x}\big(v'(x)+2v(x)\big).
  • Calculo a segunda derivada derivando novamente:
y_{2}''(x)=\frac{d}{dx}\Big(e^{2x}\big(v'+2v\big)\Big).
Apliquei produto: derivada de e^{2x} é 2e^{2x}, e derivada de (v'+2v) é v''+2v'. Assim
y_{2}''(x)=2e^{2x}\big(v'+2v\big)+e^{2x}\big(v''+2v'\big)=e^{2x}\big(v''+4v'+4v\big).

Passo 4

Substituir y_{2}, y_{2}', y_{2}'' na equação diferencial e simplificar para obter uma equação para v.
  • A equação original é
y''-4y'+4y=0.
Substituindo as expressões encontradas:
e^{2x}\big(v''+4v'+4v\big)-4\;e^{2x}\big(v'+2v\big)+4\;e^{2x}v=0.
  • Coloco e^{2x} em evidência (note que e^{2x} nunca é zero, então podemos dividir por ele):
e^{2x}\Big(v''+4v'+4v-4v'-8v+4v\Big)=0.
Dentro do parêntese somei os termos semelhantes:
v''+4v'+4v-4v'-8v+4v = v''.
  • Portanto a equação reduz-se a
v''(x)=0.
Comentário didático: conseguimos reduzir a equação de segunda ordem (em y) para uma equação de segunda ordem simples em v, que aqui é ainda muito simples: a segunda derivada nula significa que v é uma função afim (polinomial de grau ≤1).

Passo 5

Resolver a equação obtida para v e recuperar y_{2}.
  • Integro v''(x)=0 uma vez:
v'(x)=C_{1},
onde C_{1} é constante.
  • Integro novamente:
v(x)=C_{1}x+C_{2},
onde C_{2} é outra constante.
  • Agora retorno à expressão y_{2}=v\,e^{2x}. Substituindo v:
y(x)=\big(C_{1}x+C_{2}\big)e^{2x}=C_{1}\big(xe^{2x}\big)+C_{2}\big(e^{2x}\big).
  • Observação importante (por que escolho x e^{2x} como segunda solução): o termo com C_{2}e^{2x} é simplesmente múltiplo da solução conhecida y_{1}=e^{2x}. Portanto não fornece uma nova solução linearmente independente. A parte que realmente gera algo novo é x e^{2x}. Assim uma segunda solução linearmente independente é
y_{2}(x)=x e^{2x}.

Passo 6

Verificar independência linear (uma checagem rápida e didática usando o Wronskiano).
  • Defino o Wronskiano de y_{1} e y_{2}:
W(y_{1},y_{2})(x)= \begin{vmatrix} y_{1}(x) & y_{2}(x)\\[4pt] y_{1}'(x) & y_{2}'(x) \end{vmatrix}.
  • Substituo y_{1}=e^{2x} e y_{2}=x e^{2x}. Então y_{1}'=2e^{2x} e, calculado antes, y_{2}'=e^{2x}(1+2x). Assim
W(y_{1},y_{2})(x)= \begin{vmatrix} e^{2x} & x e^{2x}\\[4pt] 2e^{2x} & e^{2x}(1+2x) \end{vmatrix}.
  • Faço a determinante:
W=e^{2x}\cdot e^{2x}(1+2x)-x e^{2x}\cdot 2e^{2x}=e^{4x}\big(1+2x-2x\big)=e^{4x}.
  • Como e^{4x}\neq 0 para todo x, o Wronskiano é não-nulo, logo y_{1} e y_{2} são linearmente independentes e formam um conjunto de duas soluções linearmente independentes — ou seja, geram a solução geral da equação homogênea.]

Resposta

y_{2}(x)=x\,e^{2x}

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