A função indicada
é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem para encontrar uma segunda solução
.
Passo 1
O enunciado dá claramente os seguintes dados e pede uma coisa:
- Equação diferencial homogênea de segunda ordem:
- Uma solução conhecida da equação:
O que o enunciado pede:
- Encontrar uma segunda solução
linearmente independente de , usando o método de redução de ordem (ou seja, obter explicitamente ).
Passo 2
Ideia da redução de ordem (explicada passo a passo, sem pular etapas).
- A equação é linear homogênea de segunda ordem. Se já temos uma solução
não-nula, podemos procurar uma segunda solução da forma
onde
é uma função desconhecida a determinar. Aqui
deve ser linearmente independente de
.
- Vamos explicar por que essa forma ajuda: ao substituir
na equação, os termos que envolvem sem derivadas desaparecem porque satisfaz a equação original; resta uma equação de ordem reduzida para (normalmente uma equação de primeira ordem para ). Depois resolvemos essa equação e obtemos , hence .
Passo 3
Cálculo das derivadas de
e substituição na EDO (mostrando cada passo).
- Derivadas:
- Substituindo na equação
obtemos:
- Como
é solução de , temos . Assim o termo com multiplica exatamente , que vale zero. Logo sobra:
Passo 4
Redução para equação de primeira ordem e solução.
- Introduzimos
. Então . A equação do passo anterior fica:
- Isso é uma equação linear de primeira ordem para
. Podemos escrevê-la como
assumindo
nos intervalos considerados. Essa equação é separável/linear e suas soluções são obtidas por separar variáveis ou reconhecer forma de decaimento exponencial:
- Integrando ambos os lados:
onde
é constante de integração. Exponenciando:
com
constante não-nula (pode ser escolhida convenientemente).
- Agora integramos para obter
:
- Portanto uma fórmula prática (escolhendo
apenas para obter uma solução particular) é
(Observação: essa é a forma simplificada da fórmula geral
para a EDO na forma padrão
. No nosso caso
, então o fator exponencial é 1.)
Passo 5
Aplicação ao caso concreto
.
- Usamos a fórmula do passo anterior:
- Note que
. Precisamos calcular a integral
- Lembrete de cálculo: para qualquer constante
,
Logo
- Substituindo na expressão de
(e tomando apenas para obter uma forma simples; constantes multiplicativas ou somas de múltiplos de não alteram independência):
- Simplificando
. Portanto
- Multiplicar uma solução por constante não-nula não altera sua utilidade como solução independente. Portanto uma escolha mais convencional e limpa para a segunda solução é
Passo 6
Verificação da independência linear (checadinha rápida com o Wronskiano).
- O Wronskiano de duas funções
é
- Tomando
e :
- Logo
- Como
é diferente de zero (aqui constante ), as funções são linearmente independentes em todo o domínio. Portanto e formam um par de soluções fundamentais.]