A função indicada y_{1}(x) é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem para encontrar uma segunda solução y_{2}(x).
y^{\prime \prime}+9 y=0 ; \quad y_{1}=\operatorname{sen}(3 x)

Passo 1

O enunciado dá claramente os seguintes dados e pede uma coisa:
  • Equação diferencial homogênea de segunda ordem:
y^{\prime\prime}+9y=0.
  • Uma solução conhecida da equação:
y_{1}(x)=\sin(3x).
O que o enunciado pede:
  • Encontrar uma segunda solução y_{2}(x) linearmente independente de y_{1}(x), usando o método de redução de ordem (ou seja, obter explicitamente y_{2}).

Passo 2

Ideia da redução de ordem (explicada passo a passo, sem pular etapas).
  • A equação é linear homogênea de segunda ordem. Se já temos uma solução y_{1}(x) não-nula, podemos procurar uma segunda solução da forma
y_{2}(x)=u(x)\,y_{1}(x),
onde u(x) é uma função desconhecida a determinar. Aqui y_{2} deve ser linearmente independente de y_{1}.
  • Vamos explicar por que essa forma ajuda: ao substituir y_{2}=u\,y_{1} na equação, os termos que envolvem u sem derivadas desaparecem porque y_{1} satisfaz a equação original; resta uma equação de ordem reduzida para u (normalmente uma equação de primeira ordem para u'). Depois resolvemos essa equação e obtemos u, hence y_{2}.

Passo 3

Cálculo das derivadas de y_{2}=u\,y_{1} e substituição na EDO (mostrando cada passo).
  • Derivadas:
y_{2}' = u' y_{1} + u y_{1}',
y_{2}'' = u'' y_{1} + 2u' y_{1}' + u y_{1}''.
  • Substituindo na equação \;y''+9y=0\; obtemos:
u'' y_{1} + 2u' y_{1}' + u y_{1}'' + 9u y_{1} = 0.
  • Como y_{1} é solução de y''+9y=0, temos y_{1}''+9y_{1}=0. Assim o termo com u multiplica exatamente y_{1}''+9y_{1}, que vale zero. Logo sobra:
u'' y_{1} + 2u' y_{1}' = 0.

Passo 4

Redução para equação de primeira ordem e solução.
  • Introduzimos w(x)=u'(x). Então u''=w'. A equação do passo anterior fica:
w' y_{1} + 2 w y_{1}' = 0.
  • Isso é uma equação linear de primeira ordem para w. Podemos escrevê-la como
w' + 2\frac{y_{1}'}{y_{1}}\,w = 0,
assumindo y_{1}(x)\neq 0 nos intervalos considerados. Essa equação é separável/linear e suas soluções são obtidas por separar variáveis ou reconhecer forma de decaimento exponencial:
\frac{w'}{w} = -2\frac{y_{1}'}{y_{1}}.
  • Integrando ambos os lados:
\ln|w| = -2\ln|y_{1}| + C,
onde C é constante de integração. Exponenciando:
w = u' = \frac{K}{y_{1}^{2}},
com K=e^{C} constante não-nula (pode ser escolhida convenientemente).
  • Agora integramos para obter u:
u(x)=\int u'(x)\,dx = \int \frac{K}{y_{1}(x)^{2}}\,dx.
  • Portanto uma fórmula prática (escolhendo K=1 apenas para obter uma solução particular) é
y_{2}(x)=y_{1}(x)\int \frac{1}{y_{1}(x)^{2}}\,dx.
(Observação: essa é a forma simplificada da fórmula geral \;y_{2}=y_{1}\int \dfrac{e^{-\int P}}{y_{1}^{2}}dx\; para a EDO na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0. No nosso caso P=0, então o fator exponencial é 1.)

Passo 5

Aplicação ao caso concreto y_{1}(x)=\sin(3x).
  • Usamos a fórmula do passo anterior:
y_{2}(x)=\sin(3x)\int \frac{1}{\sin^{2}(3x)}\,dx.
  • Note que \dfrac{1}{\sin^{2}(3x)}=\csc^{2}(3x). Precisamos calcular a integral
\int \csc^{2}(3x)\,dx.
  • Lembrete de cálculo: para qualquer constante a\neq0,
\frac{d}{dx}\bigl(\cot(ax)\bigr) = -a\,\csc^{2}(ax).
Logo
\int \csc^{2}(3x)\,dx = -\frac{1}{3}\cot(3x) + C.
  • Substituindo na expressão de y_{2} (e tomando C=0 apenas para obter uma forma simples; constantes multiplicativas ou somas de múltiplos de y_{1} não alteram independência):
y_{2}(x)=\sin(3x)\left(-\frac{1}{3}\cot(3x)\right) = -\frac{1}{3}\sin(3x)\cot(3x).
  • Simplificando \sin(3x)\cot(3x)=\sin(3x)\cdot\frac{\cos(3x)}{\sin(3x)}=\cos(3x). Portanto
y_{2}(x)=-\frac{1}{3}\cos(3x).
  • Multiplicar uma solução por constante não-nula não altera sua utilidade como solução independente. Portanto uma escolha mais convencional e limpa para a segunda solução é
y_{2}(x)=\cos(3x).

Passo 6

Verificação da independência linear (checadinha rápida com o Wronskiano).
  • O Wronskiano de duas funções y_{1},y_{2} é
W(y_{1},y_{2})(x)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\[4pt] y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix}=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}.
  • Tomando y_{1}=\sin(3x) e y_{2}=\cos(3x):
y_{1}'=3\cos(3x),\qquad y_{2}'=-3\sin(3x).
  • Logo
W(y_{1},y_{2})(x)=\sin(3x)\cdot(-3\sin(3x)) - 3\cos(3x)\cdot\cos(3x) = -3\bigl(\sin^{2}(3x)+\cos^{2}(3x)\bigr) = -3.
  • Como W é diferente de zero (aqui constante -3), as funções são linearmente independentes em todo o domínio. Portanto \sin(3x) e \cos(3x) formam um par de soluções fundamentais.]

Resposta

y_{2}(x)=\cos(3x)

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